2025年山西省大同市铁路第一中学数学高一第一学期期末预测试题含解析.doc

2025年山西省大同市铁路第一中学数学高一第一学期期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，若，则（ ）
A.1或4 B.1或
C.或4 D.或
2．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为
A. B.
C. D.
3．若角(0≤≤2π)的终边过点，则=(  )
A. B.
C. D.
4．幂函数的图像经过点，若.则（）
A.2 B.
C. D.
5．设是两条不同的直线,是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．满足不等式成立的的取值集合为（）
A.
B.
C.
D.
8．函数部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
9．若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为
A. B.1
C.2 D.
10．已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于
A. B.
C.2 D.9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是　　　　
12．大圆周长为的球的表面积为____________
13．求值：2+=____________
14．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
15．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
16．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
18．已知二次函数区间[0，3]上有最大值4，最小值0
（1）求函数的解析式；
（2）设．若在时恒成立，求k的取值范围
19．已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）讨论函数的零点个数.
20．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：
①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为.
（1）请选出这三个条件并求出函数的解析式；
（2）对于给定函数，求该函数的最小值.
21．已知函数，
（1）求的解集；
（2）当时，若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为，则，解得或.
故选：B.
2、C
【解析】当时，单调递增，单调递减
故选
3、D
【解析】由题意可得：，
由可知点位于第一象限，则.
据此可得：.
本题选择D选项.
4、D
【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求时的值
详解】解：设幂函数，其图象经过点，
，
解得，
；
若，
则，
解得
故选：D
5、A
【解析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，即可得出答案．
【详解】A选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B错误;C选项,可能平行于与相交线,故错误;D选项,m与n可能异面，故错误
【点睛】本道题目考查了平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，发挥空间想象能力，找出选项的漏洞，即可．
6、D
【解析】根据条件求出两个函数在上的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可
【详解】当时，，即，则的值域为[0，1]，
当时，，则的值域为，
因为存在，使得，
则
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.
故选：D
7、A
【解析】先求出一个周期内不等式的解集，再结合余弦函数的周期性即可求解.
【详解】解：由得：
当时，
因为的周期为
所以不等式的解集为
故选：A.
8、A
【解析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据函数的零点个数可得正确的选项.
【详解】因为，所以为奇函数，
图象关于原点对称，故排除B；
令，即，解得，即只有一个零点，故排除C，D
故选：A
9、A
【解析】由两点坐标求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值列出方程求得的值.
【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为45°，∴，解得，故选A
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
10、C
【解析】 ，选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（10，12）
【解析】
不妨设a<b<c，
作出f(x)的图象，如图所示：
由图象可知0<a<1<b<10<c<12，
由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，
∴lgab=0，则ab=1，
∴abc=c，
∴abc的取值范围是(10,12)，
12、
【解析】依题意可知，故求得表面积为.
13、-3
【解析】利用对数、指数的性质和运算法则求解
【详解】解：（）lg（1）lg1
[（）3]2+（）0
2+1
＝﹣3
故答案为﹣3
【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用
14、##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积.
故答案为：.
15、
【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：

由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.
故答案为：.
16、
【解析】首先利用余弦定理求得的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可.
【详解】由已知可得为所求二面角的平面角，
设等腰直角的直角边长度为，则，
由余弦定理可得：，
则在中，，
即所求二面角大小是.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数在区间上单调递增，证明见解析
（2）函数为奇函数，在区间上的值域为
【解析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
【小问2详解】
的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式
（2）求解的解析式，令，则，问题转化为当u∈[，8]时，恒成立，分离参数即可求解
【详解】（1）其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，
∴当x＝1时，取得最小值为﹣m+n+1＝0①
当x＝3时，取得最大值为3m+n+1＝4②
由①②解得：m＝1，n＝0，
故得函数的解析式为：；
（2）由，令，，则，
问题转化为当u∈[，8]时，恒成立，即u2﹣4u+1﹣ku2≤0恒成立， ∴k
设，则t∈[，8]，得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k
当t＝8时，（1﹣4t+t2）max＝33，
故得k的取值范围是[33，+∞）.
19、（1）
（2）当时，有一个零点；当时，且当时，有两个零点，当时，有一个零点
【解析】（1）由、都是单调递增函数可得的单调性，利用单调性可得答案；
（2）时有一个零点；
当时，利用单独单调性求得，分和讨论可得答案.
【小问1详解】
当时，单调递增，
当时，单调递增，
若在上单调递增，只需，
.
【小问2详解】
当时，，此时，即，有一个零点；
当时，，此时在上单调递增，
，
若，即，此时有一个零点；
若，即，此时无零点，
故当时，有两个零点，当时，有一个零点
20、（1）选择①②④三个条件，
（2）
【解析】（1）根据各条件之间的关系，可确定最大值1与②④矛盾，故③不符合题意，从而确定①②④三个条件；
（2）将化简为，再通过换元转化为二次函数问题再求解.
【小问1详解】
①由条件③可知，函数的周期，最大值为1与②④矛盾，故③不符合题意.选择①②④三个条件.
由②得，由④中，知，则，
由①知，解得，
又，则.
所求函数表达式为.
【小问2详解】
由，
令，那么，
令，其对称轴为.
当时，即时，
在上单调递增，则；
当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，即时，在上单调递减.
则，
综上所述可得
21、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1），然后对和的大小关系进行讨论，利用一元二次不等式的解法即可得答案；
（2）令，则，解得或.当时，有一解；由题意，当时，必有两解，数形结合即可求解.
【小问1详解】
解：，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为
【小问2详解】
解：当时，
令，则，解得或，
当时，，得，
所以当时，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，即与的图象有2个不同的交点，

由图可知，解得，
所以实数k的取值范围为.