陕西省西安市长安区第一中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

陕西省西安市长安区第一中学2025-2026学年高二上数学期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线与直线平行，则实数a值为（）
A.1 B.
C.1或 D.
2．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面
C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面
3．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()
A. B.
C. D.
4．若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比为（）
A. B.2
C. D.4
5．给出下列判断，其中正确的是（ ）
A.三点唯一确定一个平面
B.一条直线和一个点唯一确定一个平面
C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D.空间两两相交的三条直线在同一平面内
6．已知直线：与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点，若C为直线与y轴的交点，且，则k等于（）
A.4 B.6
C. D.
7．已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为（ ）
A. B.2
C. D.4
8．双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，，，则的离心率为（ ）
A. B.2
C. D.
9．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
10．总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

A.20 B.26
C.17 D.03
11．在正方体中，，则（）
A. B.
C. D.
12．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件，则的最小值为________.
14．过点，且周长最小的圆的标准方程为______
15．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________
16．曲线的长度为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？
18．（12分）已知函数.
（1）记函数，当时，讨论函数的单调性；
（2）设，若存在两个不同的零点，证明：为自然对数的底数）.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，证明：存在唯一的零点；
（2）若，求实数的取值范围.
20．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.
（1）求此抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.
21．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），

其中样本数据分组区间
（1）求频率分布直方图中a的值：
（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
22．（10分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
2、D
【解析】根据对立事件的定义即可得出结果.
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，
“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，
对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”
故选：D
3、A
【解析】利用为定值即可获解.
【详解】
设
则
又,所以
所以

当且仅当,即,取等
故选:A
4、A
【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.
【详解】解：成等比数列，
∴根据等比数列的通项得：，
，
故选：A.
5、C
【解析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.
【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；
对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；
对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.
故选：C
6、D
【解析】先求出双曲线的渐近线方程，然后分别与直线联立，求出A、B两点的横坐标，再利用可求解.
【详解】由双曲线方程可知其渐近线方程为：，
当时，与联立，得，
同理得，
由，且可知，
所以有，解得.
故选：D
7、D
【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.
【详解】由题意可得：，，可以得到，
而，
可以令，
则有，
当且仅当取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，是中档题.
8、C
【解析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得关系，即可求得离心率.
【详解】根据题意，作图如下：

不妨设，则，，①；
在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；
联立①②两式可得：；
在△和△中，由，
可得：，整理得：，③；
联立②③可得：，又，
故可得：，则，
则，故离心率为.
故选：C.
9、C
【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.
【详解】因为，在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为.
故选：C.
10、D
【解析】根据题目要求选取数字，在30以内的正整数符合要求，不在30以内的不合要求，舍去，与已经选取过重复的舍去，找到第5个个体的编号.
【详解】已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，所以选取出来的数字分别为12（符合要求），13（符合要求），40（不合要求），33（不合要求），20（符合要求），38（不合要求），26（符合要求），13（与前面重复，不合要求），89（不合要求），51（不合要求），03（符合要求），故选出来的第5个个体的编号为03.
故选：D
11、A
【解析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】因为，
而，
所以有，
故选：A
12、A
【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值
详解】解：即为
，
两边平方，可得，
即有，则
作出曲线的图形，如下：
则点与点或的距离最小，且为
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中是直线的纵截距，
代入得，即
平移直线，当直线过点时取得最小值5
故答案为：5
14、
【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解； 方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.
【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，
从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径
则所求圆的标准方程为
方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小
又，，
故所求圆的方程为，
整理得，
所以所求圆的标准方程为
15、
【解析】由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.
【详解】在中，设，，，,，
因为点，点分别是，的中点，所以，，
在中，，在中，，
整理得，
因为是边长为的正三角形，所以，
又因为，所以，由，解得，
所以
又因为是边长为的正三角形，所以，所以，
所以，，两两垂直，
则球为以为棱的正方体的外接球，
则外接球直径为，
所以球的体积为,
故答案为.

【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题
16、
【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.
【详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，
∴曲线（）的长度是，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）存在，的值为.
【解析】（1）先证明, 再证明，由线面垂直的判定定理求证即可;
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值
【详解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

，，，，
所以，，
设平面的法向量，则，
取，得，
点M在线段上，且，点N在线段上，设，，
设，则，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.
∴的值为.
18、（1）在和上单调递增；在上单调递减
（2）证明见解析
【解析】（1）先求导，然后对导数化简整理后再解不等式即可得单调性；
（2）要证明，通过求函数的极值可证明，要证，根据有两个不同的零点，将问题转化为证明成立，再通过换元从求函数的最值上证明.
【小问1详解】
因为，
所以，
令，得或.
所以时，或；
时，.
所以在和上单调递增；在上单调递减.
【小问2详解】
因为，所以.
当时，，可得在上单调递减，此时不可能存在两个不同的零点，不符合题意.
当时，.
令，得.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
而当时，，时，.
所以要使存在两个不同的零点，
则，即，解得.
因为存在两个不同的零点，
则，即.
不妨设，则，则，
要证，即证，即证，
即，.
即证，令，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以成立.
综上有.
【关键点点睛】
解决本题的第（1）问的关键是对导函数的分子因式分解；解决第（2）问的关键一是分步证明，二是研究函数的单调性，三是转化思想的运用，四是换元思想的运用.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；
（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围
【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；.
且，故存在唯一的零点；
（2）当时，不满足恒成立，故
由定义域为，可得，
令，则，
则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最大值（1），
故实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：
参变分离法，将不等式恒成立问题转化函数求最值问题；
主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；
分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；
数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解
20、（1）（2）
【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.
（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.
【详解】（1）由题知：抛物线的焦点
到准线的距离为，
∴抛物线的方程为
（2）设联立，
得，
则，，
，
∵以为直径圆过原点O，
∴，∴，
即，
解得或（舍），∴
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.
21、（1）
（2）众数；中位数
【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；
（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.
【小问1详解】
由,得
【小问2详解】
50名学生竞赛成绩的众数为
设中位数为,则
解得
所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
22、（1）;
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.
【小问1详解】
∵椭圆的焦距，
椭圆的两焦点坐标分别为，
又点在椭圆上，
，
即.

该椭圆方程为.
【小问2详解】
设.
当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.
不妨取，则
，
成等差数列.
当直线l的斜率不为0时，设其方程为，
由，消去x得 .

即，
成等差数列，
综上可得，，成等差数列.