云南省西盟县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

云南省西盟县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若xlog34=1，则4x+4–x=
A.1 B.2
C. D.
2．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速

A.①②④ B.④②③
C.①②③ D.④①②
3．当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输入病例数据：
x（月份）
1
2
3
4
5
y（人数）
97
159
198
235
261
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）
A. B.
C. D.
4．函数与的图象（ ）
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线轴对称
5．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．角是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
7．实数，，的大小关系正确的是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．已知向量，，那么（）
A.5 B.
C.8 D.
10．下列说法中，错误的是（ ）
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集是________.
12．函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
13．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
14．已知，且，则_______.
15．若，，则a、b的大小关系是______．（用“＜”连接）
16．已知为的外心，，，，且；当时，______；当时，_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，2）
（1）求实数a的值；
（2）如果f（x+1）＜0，求实数x的取值范围
18．已知函数的图象（部分）如图所示，

（1）求函数的解析式和对称中心坐标；
（2）求函数的单调递增区间
19．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
20．总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）
（1）每台充电桩第几年年末开始获利；
（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.
21．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）

（1）求，关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可
【详解】∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，∴4x+4–x=3+．故选D
【点睛】本题考查对数性质的简单应用，属于基础题目
2、D
【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；
【详解】离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，
这时离家的距离为，故应先选图像（4）；
途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；
后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；
故选：D
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.
3、D
【解析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.
【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，
故选：D
4、D
【解析】函数与互为反函数，然后可得答案.
【详解】函数与互为反函数，它们的图象关于直线轴对称
故选：D
5、D
【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D
6、B
【解析】找到与终边相等的角，进而判断出是第几象限角.
【详解】因为，
所以角和角是终边相同的角，
因为角是第二象限角，
所以角是第二象限角.
故选：B.
7、B
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围，即可得结果.
【详解】由对数函数的单调性可得，

根据指数函数的单调性可得，

即，
，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
8、B
【解析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图象如图所示，
由题意知，当时，；当时，.
令，则原方程化为.
∵方程有8个相异实根，
∴关于t的方程在上有两个不等实根.
令，，
∴，解得.
故选：B

9、B
【解析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】因为向量，，所以
.
故选：B.
10、A
【解析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A，取，所以，故错误；
对B，由，，所以，故正确；
对C, ，
由，，所以，所以，故正确；
对D，由，所以，又，所以
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意，，根据一元二次不等式的解法即可求出结果.
【详解】由题意，或，故不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
12、
【解析】由x∈(0，)求出，然后，画出正弦函数的大致图像，利用图像求解即可
【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图

则由图可知当时，方程有三个根，由解得，
解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，，则，即.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用x∈(0，)，则画出图像，并利用对称性求出答案
13、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：
14、
【解析】根据题意，可知，结合三角函数的同角基本关系，可求出和再根据，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以
.
故答案为：.
15、
【解析】容易看出，＜0，＞0，从而可得出a，b的大小关系
【详解】，＞0，,∴a＜b
故答案为a＜b
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，考查对数函数和指数函数的值域．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16、 (1). (2).
【解析】（1）由可得出为的中点，可知为外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出；（2）推导出外心的数量积性质，，由题意得出关于、和的方程组，求出的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出的值.
【详解】当时，由可得，，
所以，为外接圆的直径，则，此时；
如下图所示：

取的中点，连接，则，所，
，同理可得.
所以，，整理得，
解得，，，因此，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出，，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) a＝2．(2) {x|﹣1＜x＜0}
【解析】（1）将点（4，2）代入函数计算得到答案.
（2）解不等式log2（x+1）＜log21得到答案
【详解】（1）因为loga4＝2，所以a2＝4，因为a＞0，所以a＝2
（2）因为f（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，
所以，即﹣1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜0}
【点睛】本题考查了对数函数解析式，解不等式，忽略定义域是容易发生的错误.
18、（1），对称中心；（2），
【解析】(1) 由函数的图象得出A，求出函数的四分之一周期，从而得出ω，代入最高点坐标求出φ，得函数的解析式，进而求出对称中心坐标；
（2）令，从而得到函数的单调递增区间.
【详解】（1）由题意可知，，，，
又当时，函数取得最大值2，所以，，又因为，所以，所以函数，
令，，
得对称中心 ，.
（2）令，
解得，，
所以单调递增区间为，
【点睛】求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y＝Asin（ωx+φ）的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标时，要把ωx+φ看作整体，分别代入正弦函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标分别求出x，这儿利用整体的思想；求y＝Asin（ωx+φ）的最大值，需要借助正弦函数的最大值的求解方法即可
19、（1）
（2）
（3）存在，方程为
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；
（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;
（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.
【小问1详解】
∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），
∴圆M的圆心为M（a，a），半径.
又圆心M在直线上，
∴，解得.
∴圆M的方程为：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，
∴由，解得.
∴.
易知圆心M到直线AB的距离，
∴点C到直线AB的最大距离为.
∴△ABC面积的最大值为.
【小问3详解】
方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.
又∵，∴.
又∵直线MP的斜率为，
∴直线AB的斜率为-.
∴.
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，
∴此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
∵点A、B是圆M上的点，设，.
∴
由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，
∴.
∴
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
20、（1）第年；
（2）第年.
【解析】（1）构造二次函数模型，由二次函数解得结果；
（2）由（1）知年平均利润，结合对勾函数单调性，验证可知，由此可得结果.
【小问1详解】
设每台充电桩在第年年末的利润为，
则，
令，解得：，又，，
，每台充电桩从第年年末开始获利；
【小问2详解】
设为每台充电桩在第年年末的年平均利润，
则；
在上单调递减，在上单调递增，
上单调递增，在上单调递减，
又，，，，，
每台充电桩在第年年末时，年平均利润最大.
21、（1），（2）13分钟
【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出和的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
可设，
∵转动的周期为30分钟，∴，
∵枢轮的直径为3.4米，∴，
∵点P的初始位置为最高点，∴，
∴，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，
∵水位以每分钟0.017米速度下降，
∴；
【小问2详解】
P点进入水中，则，即
∴
作出和的大致图像，显然在内存在一个交点

令，
∵，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.