职业中专第一册数学总复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,数学总复习,教师：姚君秋,手机：[phone],qq：783661577,第一章：方程与不等式,1数的基本知识,1.,数的分类,实数,（集）,（R）,有理数,（集）,无理数,（集）,整数,负分数,（集）,（集）,正整数,零,负整数,（集）,（Q）,（Z）,（N,+,、N*）,负,正分数,自然数,（集）,（N）,2.,倒数与相反数的概念,相反数:,倒数:,乘积是,1,的两个数互为,倒数,只有符号不同的两个数互为,相反数,1,的倒数是什么？,0,有没有倒数？,1,没有,3.,数轴与数,规定了,原点、正方向,和,单位长度,的直线叫做,数轴,4.,绝对值,几何定义,:,一个数,a,的绝对值就是数轴上表示,a,的点与原点的距离,数,a,的绝对值记作,|,a,|.,代数定义,:,一个,正数,的绝对值是,它,本身,.,一个,负数,的绝对值是,它的相反数,.,零,的绝对值等于,零,.,数的乘方,数的开方,平方根,立方根,n,次方根,整式的运算,常用乘法公式,平方差公式：,完全平方公式：,因式分解方法与步骤：,分组分解法,提取公因式,公式法（乘法公式的逆运算）,配方法,十字相乘法,分式的运算,一元一次方程,例子：,二元一次方程组,例子,一元二次方程,一元一次不等式,一元一次不等式组,用数轴表示不等式组的解,一元二次不等式的概念及解法,不等式中只含有一个未知数，且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式,.,他的一般形式是,一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表,第二章,集 合,一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集），用大写字母,A,、,B,、,C,表示。,集合中的每个对象都称为这个集合的元素。用小写字母,a,、,b,、,c,表示。,若,a,是集合,A,的元素就说,a,属于,A,，记作,a,A,，否则,a A,。,集合元素的三个特征：,确定性、互异性、无序性。,集合与元素的关系,属于、不属于,集合的分类,空集与数集,空集：不含任何元素的集合，记作，如方程,x,2,+1=0,的解集为,数集：以数为元素的集合。,常用数集,详见第一章,数的分类,一、交集,二、并集,三、补集,名称,闭区间,开区间,左闭右开区间,左开右闭区间,定义,x,|,a,x,b,x,|,a,x,b,x,|,a,x,b,x,|,a,x,b,符号,a,b,(,a,b,),a,b,),(,a,b,图示,定义,x,|,x,a,x,|,x,b,x,|,x,a,x,|,x,b,符号,a,+,）,（,-,，,b,（,a,+,）,（,-,b,）,图示,第三章,函数,在某一个变化过程中有两个变量,x,与,y,，如果对于,x,在某个实数集合,D,中的每一个值，按照某个,对应关系,（或称对应法则）,f,，,y,都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说,y,是,x,的函数（,function,），记作,y,=,f,(,x,),x,D,其中，,x,称为自变量，,x,的取值范围（即集合,D,）称为函数的,定义域,（,domain,），与,x,的值相对应的,y,的值称为函数值，当,x,取遍,D,中所有值时，所得到的函数值,y,的集合称为函数的,值域,（,range,）,1、函数的两大要素,2,、求函数的定义域的方法,y,=2,x,2,-,3x,+1,函数三种表示方法：,解析法、列表法、图像法,一、偶函数：,定义域关于原点,对称,一般地，设函数,y,=,f,（,x,）的定义域为,D,，如果对于任意的,x,D,，都有,f,（,-,x,）,=,f,（,x,）,，则称,y,=,f,（,x,）为,偶,函数，如,y,=,x,2,为偶函数。,二、奇函数,：,定义域关于原点,对称,一般地，设函数,y,=,f,（,x,）的定义域为,D,，如果对于任意的,x,D,，都有,f,（,-,x,）,=,-,f,（,x,）,，则称,y,=,f,（,x,）为,奇,函数，如,y,=,三、非奇非偶函数,：,定义域关于原点,不对称,如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 称为非奇非偶函数,.,小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤,第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于X轴对称,；,第二步，若,定义域关于X轴对称，则判断,f,（,-,x,）值，,若,对于任意的,x,D,，都有,f,（,-,x,）,=,f,（,x,）,，则称,y,=,f,（,x,）为,偶,函数，如,y,=,x,2,若,对于任意的,x,D,，都有,f,（,-,x,）,=,-,f,（,x,）,，则称,y,=,f,（,x,）为,奇,函数，如,y,=,若,定义域关于X轴不对称，则为,非奇非偶函数,第三步，,写出结论,增函数、减函数,一般地，设函数,y,=,f,(,x,),的,定义域,上某个区间为,I,：,如果,对于任意的,x,1,，,x,2,I,，当,x,1,x,2,时，,都有,f(x1),f(x2),我们就说,函数,y=f(x),在区间,I,上是单调增函数，简称,增函数,，其图像沿,x,轴的正方向,上升,，如图,3-15a,所示,.,如果,对于任意的,x1,，,x2,I,，当,x10,a,1),a,1,0,a,1,图像,性质,（,1,）定义域是（,0,，,+,），值域是（,-,，,+,）,（,2,）当,x,=1,时，,y,=0,（,3,）在（,0,，,+,）内是增函数,（,4,）当,x,1,时，,y,0,当,0,x,1,时，,y,0,（,3,）在（,0,，,+,）内是减函数,（,4,）当,x,1,时，,y,0,当,0,x,1,时，,y,0,1.,角的定义及组成,一条射线绕着端点,O,从一位置,OA,旋转到另一个位置,OB,所形成的图形称为角，如图,按,逆时针,方向旋转形成的角称为,正角,按,顺时针,方向旋转形成的角称为,负角,如果一条射线,没有作任何旋转,，我们也认为它形成了一个角，称为,零角,零角的始边与终边重合，若,是零角，则,=0.,象限角,以平面直角坐标系,xOy,的原点,O,为角的顶点,让角的始边与,x,轴的正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。,如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，如,90,角与,180,角不属于任何一个象限。,在,0360,范围内,表示各象限角的范围,.,在同一直角坐标系中,画出,30,、,390,、,750,、,-330,角，,并寻找它们的共同点,30=30+0360,390=30+1360,750=30+2360,-330=30+(-1)360,小结,：共同点是,所有角的终边相同,可以用,=30+,k,360,，,k,z,表示,.,终边相同的角的表示,:,一般地，与,角终边相同的角（含,在内的一般表达式为,=,+k,360,，,k,z,用集合表示为,|,=+k,360,，,k,z,思考：第一象限的角的集合如何表示？,|0,+,k,360,90,+k,360,，,k,z,定义,:,长度等于半径的弧所对的圆心角为,1,弧度的角,.,用弧度作为单位来度量角和单位制称为弧度制,.,图,4,6,在半径为,r,的圆中，长度为,l,的圆弧所对的圆心角的大小是,|,|=,rad.,角度与弧度的换算,360=2rad.,180=rad.,1 rad=,=57.3,注,:,弧度单位通常忽略不写,.,用弧度制表示下列各角：,60,，,-270.,例,2,把下列各角用角度制表示：,，,.,在直角三角形中，如图所示。,M,是直角，锐角,的对边是,a,，邻边是,b,，斜边是,c,，则有,sin,=,cos,=,tan,=,在直角坐标中，如图所示。,在锐角,的终边上任取一点,P,（原点除外），过点,P,作,x,轴的垂线，垂足为,M,，这样就得到了直角三角形,OPM,，设点,P,的坐标为（,x,y,）则角,的对边,MP,的长是,y,，邻边,OM,的长是,x,，斜边,OP,的长是,r,，其中,r,=,（,r,0,）由此得到,sin,=,cos,=,tan,=,推广到任意角就有任意角的三角函数,如图所示，在任意角,的终边上任取一点,P,，设,P,的坐标为（,x,y,）,OP,=,r,则,r,=,（,r,0,）,图,411,sin,=,称为角,的正弦,cos,=,称为角,的余弦,tan,=,称为角,的正切,特殊角的三角函数的值,.,角度制,0,30,45,60,90,180,270,弧度制,0,sin,0,1,0,-1,cos,1,0,-1,0,tan,0,1,不存在,0,不存在,根据任意角的三角函数的定义，我们知道，角,的终边上点,P,坐标值的符号决定了角,的三角函数的符号各三角函数在各个象限的符号列表如下：,记忆口诀：,一正二正弦，三正切四余弦,.,含义：,第一象限全为正，第二象限除正弦为正外，其余均为负,，,第三象限除正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负,同角三角函数的基本关系,诱导公式,sin(2,k,+,)=sin,k,Z,cos(2,k,+,)=cos,k,Z,(,公式一）,tan(2,k,+,)=tan,k,Z,公式作用,：将任意角的三角函数化为,0,，,2,内的角的三角函数。,一、有关,+2,k,（,k,z,）的诱导公式,二、有关,-,的诱导公式,例如：,sin1 500=sin(4360+60)=sin60,sin(-,)=-sin,cos(-,)=cos,(,公式二）,tan(-,)=-tan,公式作用,：将负角的三角函数化为正角的三角函数。,例如：,sin(-30),角,-,与角,的终边关于,x,轴对称,证明：由图,416,可知角,-,与角,的终边关于,x,轴对称，在角,的终边上取一点,P,，使,OP,=1,，设,P,的坐标为（,x,，,y,），则,P,（,x,，,-,y,）必在角,-,的终边上，且,OP,=1,图,416,三、有关,-,的诱导公式,sin(2-,)=-sin,cos(2-,)=cos,(,公式三）,tan(2-,)=-tan,公式作用,：将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数。,sin(,+,)=-sin,cos(,+,)=-cos,(,公式四）,tan(,+,)=tan,四、,的三角函数的简化公式,sin(,-,)=sin,cos(,-,)=-cos,(,公式五）,tan(,-,)=-tan,证明公式四,图,417,证明,.,将任意角,的终边按逆时针旋转,弧度，就得到,的终边，显然角,的终边与角,的终边关于原点对称，在角,终边上取一点,P,，使,OP,=1,，设点,P,的坐标为（,x,，,y,），则,P,（,-,x,，,-,y,）必在角,的终边上，且,OP,=1,，所以,求下列各三角函数的值：,(1)sin,（,2,）,cos135,（,3,）,tan,小结：求任意角的三角函数的步骤,正弦函数,y,=sin,x,的图像与性质,正弦函数,y,=sin,x,的图像,先用描点法画出,y,=sin,x,在区间,0,，,2,上的图像,.,由于,sin,（,2,k,+,x,）,=sin,x,k,z,.,所以,y,=sin,x,在区间,2,k,2,k,+2,上的图像与在区间,0,，,2,上的图像形状完全一样，只要将,y,=sin,x,在,0,2,的图像向左向右平移即可,.,正弦函数,y,=sin,x,的性质,（,1,）定义域,R,（,2,）值域,-1,，,1,x,=,+2,k,(,k,z,),y,max,=1,x,=,+2,k,(,k,z,),y,min,=-1,（,3,）周期性,T,=2,最小正周期,（,4,）奇偶性,奇函数,（,5,）单调性,在区间,2,k,-,，,2,k,+,内单调递增，区间,2,k,+,，,2,k,+,内单调递减,（,6,）与,x,轴主点,x,=,k,k,z,用五点法画出函数,y,sin,x,+1,在,0,，,2,上的简图,.,分析比较函数,y,sin,x,+1,和函数,y,sin,x,可以看出，对同一个,x,值，函数,y,sin,x,+1,的值比函数,y,sin,x,的值大,1.,所以，函数,y,sin,x,+1,的图像与函数,y,sin,x,的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同,.,x,0,2,sinx,0,1,0,-1,0,sinx+1,1,2,1,0,1,已知函数,y,=-2sin,x,（,1,）用五点法画出这个函数在一个周期,0,，,2,上的图像,（,2,）求出它的最大值和最小值,（,3,）判断它的奇偶性,（,4,）指出这个函数在,0,2,上的单调区间,解,（,1,）列表：,x,0,2,y,0,-2,0,2,0,描点，连线得到函数,y,=-2sin,x,在一个周期,0,，,2,上的图像，如图,423,所示,（,2,）根据函数的图像和函数的周期性，可知当,x,=2,k,+(,k,Z,),时，函数有最大值，,y,max,=2,；当,x,=2,k,+(,k,Z,),时，函数有最小值，,y,min,=-2,（,3,）函数,f,(,x,)=-2sin,x,的定义域为,R,因为,f,(-,x,)=-2sin(-,x,)=2sin,x,=-,f,(,x,),所以这个函数是奇函数,（,4,）根据图像，可知这个函数在,0,2,上的单调增区间为,，,，单调减区间为,0,，,和,，,2,余弦函数,y,=cos,x,的图像与性质,余弦函数,y,=cos,x,的图像,先用描点法画出,y,=cos,x,在,0,，,2,内的图像,x,0,y,1,0.87,0.5,0,-0.5,-0.87,-1,-0.87,-0.5,0,0.52,0.87,1,曲线可由,y,=cos,x,在,0,，,2,内图像向右、向左平移,2,k,(,k,z,),个单位得到,y,=cos,x,x,0,2,由五个关键点确定图像形状。,（,0,，,1,），（,，,0,），（,，,-1,），（,，,0,），（,2,，,1,）,余弦函数,y,=cos,x,的性质,（,1,）定义域,R,（,2,）值域,-1,，,1,x,=2,k,(,k,z,),时，,y,max,=1,，,x,=,（,2,k,+1,）,(,k,z,),时,y,min,=-1,（,3,）周期性,T,=2,（,4,）奇偶性,偶函数,（,5,）单调性,2,k,2,k,+,区间上为减函数，,2,k,+,，,2,k,+2,区间上为增函数,（,6,）与,x,轴的交点,当,x=k,+,(,k,z,),时，,y,=cos,x,=0,用五点法画出,y,=2cos,x,在,0,，,2,上的简图,列表,x,0,2,y=2cosx,2,0,-2,0,2,描点并连线（图,427,）,图,427,正切函数,y,=tan,x,的图像,x,_,-,-,0,y=tanx,-1.73,-1,-0.58,0,0.58,1,1.73,x,tanx,-1.73,-1,-0.58,0,0.58,1,1.73,多面体定义：,由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体,.,棱柱：,一般地，有两个面互相平行，且不在这两个面的棱都相互平行的多面体称为棱柱,.,棱柱中的元素：,底面、高、侧面、侧棱、顶点,.,如图,5,3.,棱柱的表示方法,.,如,ABCDE-A,1,B,1,C,1,D,1,E,即用底面的顶点表示,.,棱柱的分类,按侧棱的条数分：,三棱柱、四棱柱、五棱柱等,.,按侧棱与底面的关系分,正棱柱：,底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱,.,如正三棱柱正四棱柱如图,51,中的,(1),、（,11,）、（,12,）、（,13,）,正棱柱特征：,底面是全等的正多边形，侧面是全等的矩形侧棱与底面垂直,棱锥定义：,一般地，有一个多边形的面，且不在这个面上的棱却有一个公共点的多面体如图,51,中的（,2,）、（,3,）、（,7,）、（,10,）和（,16,）,.,棱锥元素：,底面、侧面、侧棱、顶点,棱锥表示方法：,如图,54,S,ABCDE,.,即用顶点和底面多边形的字母表示,.,正棱锥的定义及特征,底面是正多边形,侧面是全等的等腰三角形,称这样的棱锥为正棱锥,如图,51,中的,(3),、（,7,）、（,10,）、（,16,）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥,.,注：,三棱锥称四面体，正三棱锥称正四面体,.,圆柱,定义：一般地，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆柱,.,如图,55,，用轴线,o,表示,.,圆柱中的元素：轴、底面、高、侧面、母线,.,特征：母线处处相等底面平行,.,全等,.,圆锥,定义,：一般地，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆锥,.,如图,5-6.,用圆锥,o,表示,.,圆锥中的元素：轴、高、底面、侧面、母线,特征：母线处处相等,.,球,定义,：一般地，以定圆的直径所在的直线为旋转轴，定圆旋转一周而成的曲面称为球面；球面所围成的几何体称为球体,.,如图,5-7.,用球,o,表示,.,球的元素：球心、直径、半径,三视图以,主观图、俯视图,和,左视图,方式来表现空间几何体的结构叫做空间几何体的三视图,(,长对正、高平齐、宽相等,),画水平放置的三角形的,直观图,步骤,图示,1,在已知三角形,ABC,中，作,CDAB,，垂足为,D,2,画对应的水平线段,AB=AB,；在,AB,上取点,D,，使,AD=AD,；过,D,作射线,DC,，使,BDC=45,，并取,DC=DC,3,连结,AC,和,BC,，并擦去辅助线,CD,和不必要的字母,D,得到的三角形,ABC,就是三角形,ABC,的水平放置的直观图,球的表面积和体积,直观图,表面积,设球的半径为,R,，则,S,球,=4R,2,体积,V,球,=R,3,