2025年山东平阴一中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年山东平阴一中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）
A.3 B.4
C.9 D.21
2．已知抛物线过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．在等差数列中，，，则（）
A. B.
C. D.
4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（）
A.3 B.4
C.6 D.8
5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
6．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）
A. B.
C. D.
7．设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（）
A. B.
C. D.7
9．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
10．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）
A. B.
C. D.
11．已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )

A.在上为减函数 B.在处取极小值
C.在上为减函数 D.在处取极大值
12．设，，，则，，大小关系是　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．据相关数据统计，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，2020年一月份全国共建基站3万个如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设0.2万个，那么2020年这一年全国共有基站________万个
14．已知点P是抛物线上一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______________
15．已知圆M过，，且圆心M在直线上.
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；
16．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间的一组数据如下：

2017年
2018年
2019年
2020年
x
1.8
2.2
2.6
3.0
y
2.0
2.8
3.2
4.0
若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线：上的点到其准线的距离为5.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标.
18．（12分）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知，，M为AB中点.

（1）证明：平面；
（2）求此几何体的体积.
19．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，

（1）求动点Q的轨迹的方程E；
（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标
20．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求B.
（2）___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
22．（10分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由直接可得.
【详解】由题知，
所以，因为，所以.
故选：A
2、B
【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求得抛物线的方程，求出的坐标，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，利用圆的几何性质可求得点与原点间的距离的最小值.
【详解】将点的坐标代入抛物线的方程得，可得，
故抛物线的方程为，易知点，
由中垂线的性质可得，
则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
故点的轨迹方程为，如下图所示：

由图可知，当点、、三点共线且在线段上时，取最小值，
且.
故选：B.
3、B
【解析】利用等差中项的性质可求得的值，进而可求得的值.
【详解】由等差中项的性质可得，则.
故选：B.
4、D
【解析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，即，
如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为

故选：D.

5、C
【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
6、A
【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.
【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，

所求概率.
故选：A.
7、A
【解析】构造函数，求导判断其单调性即可
【详解】令，
，令得，，
当时，，单调递增，
，，，
，
，
，
故选：A
8、B
【解析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.
【详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，
则，
此时，，，
因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
9、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
10、D
【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
11、C
【解析】首先利用导函数的图像求和的解，进而得到函数的单调区间和极值点.
【详解】由导函数的图象可知:当时，或；
当时，或，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和，
故在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.
故选：C.
12、A
【解析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2##
【解析】由题意可知一月份到十二月份基站个数是以3为首项，0.2为公差的等差数列，根据等差数列求和公式可得答案.
【详解】一月份全国共建基站3万个，2月全国共建基站万个，3月全国共建基站万个，，12月全国共建基站万个，
基站个数是以3为首项，0.2为公差的等差数列，
2020年这一年全国共有基站万个.
故答案为：49.2.
14、
【解析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.
【详解】如图所示：，

由抛物线的定义得：，所以，
由图象知：当三点共线时，最小，
.
故答案为：.
15、（1）
（2）或
【解析】(1)首先由条件设圆的标准方程，再将圆上两点代入，即可求得圆的标准方程；（2）分斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程.
【小问1详解】
圆心在直线上，设圆的标准方程为：，
圆过点，，，解得
圆的标准方程为
【小问2详解】
①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意
②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为
根据垂径定理可得，，，解得
直线m方程为或.
16、 ①.1.6； ②.3.65.
【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.
【详解】由数表得：，，
因此，回归直线过点，由，解得，
此时，，当时，即，解得，
所以，预计该年进口总额为千亿元.
故答案为：1.6；3.65

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.
（2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标.
【小问1详解】
由抛物线的方程可得其准线方程，
依抛物线的性质得，解得.
∴抛物线的方程为.
【小问2详解】
将代入，得.
所以，直线的方程为，即.
设，
则点到直线的距离，又，
由题意得，解得或.
∴点的坐标是或.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1) 取的中点，连接，,可得四边形为平行四边形，从而可得，然后证明 平面，从而可证明.
(2) 过作截面平面，分别交，于，，连接，作于,由所求几何体体积为从而可得答案.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，，

因为，分别是，的中点.
所以且
又因为，，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以.
因为正三角形，是的中点， 所以，
又因为平面，所以，又，
所以 平面
又 ，所以平面.
【小问2详解】
如图，过作截面平面，分别交，于，，连接，作于，因为平面平面，所以，结合直三棱柱的性质，则平面

因为，，，
所以
.
所以所求几何体体积为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；
（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.
【小问1详解】
∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵, ∴是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，
即动点Q轨迹的方程为.
【小问2详解】
设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，则，
代入可得，即点M的坐标为，
同理设，，直线的方程为，
由已知得，两式作差可得，即，
则，代入可得，即点的坐标为，
则直线MN的斜率为，
即方程为，整理得，
故直线MN恒过定点.
20、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；
（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解
【小问1详解】
由，可得，则.
∴，
在中，，
则，∵，∴，∴，∵，∴.
【小问2详解】
选择条件①
，在中，，可得，
∵，∴，
∴，
根据辅助角公式，可得，
∵，∴，即，
故.
选择条件②
由，得，
∵，∴，因此，，
整理得，即，则.
在中，，∴.
故.
选择条件③
由，得，
即，
整理得，
由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.
21、（1）
（2）
【解析】（1）对，利用正弦定理和诱导公式整理化简得到，即可求出；
（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值为1，代入面积公式求面积.
【小问1详解】
对于.
由正弦定理知：
即.
所以.
所以.
所以
因为，，所以.
所以.
因为，所以.
【小问2详解】
因为，由正弦定理知：.
由余弦定理知：，
所以.当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为1.
所以，
即面积的最大值为.
22、（1）；
（2）
【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.
【小问1详解】
设等差数列{an}公差为d，
由，得
解得
所以(n∈N*)；
【小问2详解】
由（1）可知，
故，
所以