江西省铅山县第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

江西省铅山县第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文
C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文
2．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）
A.系统抽样法 B.分层抽样法
C.抽签法 D.简单的随机抽样法
3．某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员，另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）
A. B.
C. D.
4．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
5．直线的倾斜角为（）
A B.
C. D.
6．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.12 B.18
C.21 D.27
7．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（ ）
A. B.2
C. D.1
8．不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
9．点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
12．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的离心率是______
14．在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.
15．抛物线的准线方程是________
16．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知定圆，过的一条动直线与圆相交于、两点，
（1）当与定直线垂直时，求出与的交点的坐标，并证明过圆心；
（2）当时，求直线的方程
18．（12分）已知数列的前n项和为，满足，
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围
19．（12分）已知函数，当时，有极大值3
（1）求的值；
（2）求函数的极小值
20．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望
附：，其中n=a+b+c+d

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为.证明：是等腰直角三角形.
22．（10分）已知函数在处有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以戊分得（文），己分得（文），
故选：C.
2、B
【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；
【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本
又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，
采用分层抽样法较好
故选：B.
【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.
3、C
【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.
【详解】基本事件总数为
正、副队长不在同一组的基本事件个数为
故正、副队长不在同一组的概率为.
故选：C.
4、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
5、C
【解析】设直线倾斜角为，则，再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
∵，所以.
故选：C
6、B
【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.
【详解】因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，
所以，
即 ，解得=18，
故选：B.
7、A
【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.
【详解】在中，设，则,解得：.
因为，所以，
所以的面积是.
故选：A
8、A
【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】，
故选：A.
9、A
【解析】由，当三点共线时，取得最值
【详解】设是椭圆的右焦点，则
又因为，，
所以，则
故选：A
10、D
【解析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.
【详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为
所以，由，
可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为
即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点
当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，
则必有，即，则双曲线E的离心率，所以
又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，
此时以AB为直径圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.
所以E的离心率的取值范围是.
故选：D
11、B
【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
根据椭圆的定义可知，，
当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得，
因此椭圆C的短轴的最小值为.
故选：B.
12、C
【解析】求出圆心到直线距离 ，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.
【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，
因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，
即的取值范围是：.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.
【详解】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.
14、##
【解析】求出等比数列的公比，利用定义可求得数列的公比.
【详解】设等比数列的公比为，则，
因此，数列的公比为.
故答案为：.
15、
【解析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.
【详解】抛物线方程可化为： 抛物线准线方程为：
故答案为
【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.
16、3
【解析】如图利用条件可得，，然后利用双曲线的定义可得，即求.
【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，

则，又直线PF的斜率为，
∴在直角三角形中，，
∴，
∴，即，
∴.
故答案：3.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），证明见解析；
（2）或.
【解析】（1）根据题意可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，再将直线、的方程联立，可得出这两条直线的交点的坐标，将圆心的坐标代入直线的方程可证得结论成立；
（2）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：当直线与定直线垂直时，可设直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，则，
此时，直线的方程为，
联立可得，即点，
圆心的坐标为，因为，故直线过圆心.
【小问2详解】
解：设圆心到直线的距离为，则.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
18、（1）证明见解析，
（2）①；②
【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
【小问1详解】
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
【小问2详解】
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即
19、（1）；（2）0
【解析】（1）由题意得，则可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；
（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.
【详解】（1），当时，有极大值3，所以
，解得，
经检验，满足题意，所以；
（2）由（1）得，则，令，得或，
列表得

极小值

极大值

易知是函数的极小值点，所以当时，函数有极小值0
【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力.
20、（1）有（2）分布列见解析，
【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；
（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”， 记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；
【小问1详解】
解：由题意，

所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，
∴，，，
X的分布列如下表：
X
0
1
2
P

21、（1）
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题知，进而结合求解即可得答案；
（2）设点，，进而联立并结合题意得或，进而结合韦达定理得，再的中点为，证明，进而得，，故，综合即可得证明.
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，一个焦点为
所以，所以
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设点，则点,
所以联立方程得，
所以有，解得，
因为，故或
设，
所以
设向量，
所以
，
所以，即，
设的中点为，则
所以，
又因为，所以，
所以，
因为点关于轴的对称点为.
所以，
所以，
所以是等腰直角三角形.
22、（1），；（2）最大值为，最小值为
【解析】
（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；
（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值.
【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，
，
由于在处有极值，
则，即，
解得：，，
（2）由（1）可知，其定义域是，
，
令，而，解得，
由，得；由，得，
则在区间上，，，的变化情况表如下：

1

2

0

单调递减

单调递增

可得，
，，
由于，则，
所以，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.