河北省永年县第一中学2026届数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

河北省永年县第一中学2026届数学高二第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（ ）
A.36 B.24
C.12 D.6
2．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
3．在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B.
C. D.
4．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）
A. B.
C. D.
5．椭圆与(0<k<9)的（ ）
A.长轴的长相等
B.短轴的长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值是（）

A. B.
C. D.
7．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）
A. B.
C. D.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.54 B.45
C.27 D.81
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
10．已知直线，，，则m值为（）
A. B.
C.3 D.10
11．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）
A. B.
C. D.
12．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（ ）
A.至多两件次品 B.至多一件次品
C.没有次品 D.至少一件次品
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题恒成立；，若p，均为真，则实数a的取值范围__________
14．已知等差数列的前项和为，则数列的前2022项的和为___________.
15．已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________
16．分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线、，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．
满意度评分

满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意

（1）求a的值；
（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？
18．（12分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角B的大小；
（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积
19．（12分）已知函数在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.

（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角的正弦值.
21．（12分）已知函数
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围
22．（10分）已知函数.
（1）若在处取得极值，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数在上无零点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.
【详解】设抛物线方程为：，
因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
所以，
又 P为C的准线上一点，
所以点P到直线AB的距离为p，
所以，解得，
所以，
故选：C
2、C
【解析】先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为
的真子集，由选择项不难得出答案
【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立
即只需，
即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题
意.
故选：C
3、C
【解析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积
【详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，
如图所示；则，且的最大值是，
，的最小值是，
即A到的距离为，，，
在中可得，又，
，可得；
取的外接圆圆心为，作，
取H为的中点，使得，则易得，
由，解得，，
，，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是
.

【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上
4、C
【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.
【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.
故答案为：C.
5、D
【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，
前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则
显然只有D正确
故选：D
6、C
【解析】连接，可得，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，设，设，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
在正方体中，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
由在长方体中，，，
设，可得，
在直角中，可得，
在中，可得，
所以，
因为，所以.
故选：C.

7、B
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解
【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：

故选：B
8、B
【解析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，

所以该几何体的体积为
故选B
点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.
9、A
【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，

由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
设点，由，得，
因为四边形的面积为，
所以，得，
由，得，解得，
所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，
由，得，
解得，由，得.
故选：A
10、C
【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，且，所以，解得；
故选：C
11、B
【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前项和公式计算，
【详解】由题意，新数列为，所以，，
前项和为
故选：B.
12、C
【解析】利用对立事件的定义，分析即得解
【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况
根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”
其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题意得到命题为真命题，为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】根据题意，命题，均为真命题，可得命题为真命题，为假命题，
由命题恒成立，可得，解得；
又由命题为假命题，可得，解得，
所以，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
14、
【解析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出首项和公差，得出前项和，再由裂项相消的方法，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
因此，
所以，
所以数列的前2022项的和为

.
故答案：.
15、4
【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，
所以.
故答案为：4
16、
【解析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围.
【详解】根据条件可知，
以为直径的圆与椭圆没有交点，即
，
即，
，即.
故填：.
【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）不需要
【解析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.
（2）计算平均值得到得到答案.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
.
故不需要进行调整.
18、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.
（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
所以，又B为△的一个内角，则，
所以或；
【小问2详解】
由△不为钝角三角形，即，又，，
由余弦定理，，得（舍去负值），则
∴
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；
（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.
【小问1详解】
∵函数，
∴的定义域为，，
∴在处切线的斜率为，
由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，
所以切点到直线的距离最小，最小值为，
故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.
20、（1）
（2）
【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.
（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.
【小问1详解】
因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，
可知，是正三角形.
过P在平面PAB内作，垂足为E，
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
是直线PD与平面ABCD所成角.
在正中，，，所以，
故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为，平面平面ABCD，平面平面ABCD
又平面ABCD，所以平面PAB.
又平面PAB.则
过B在平面PAB内作，垂足为F，连结CF，
又,则 平面, 又平面
所以，所以是二面角的平面角.
因为，，所以，
从而
所以二面角正弦值为.

21、（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值
（2）
【解析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；
（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
∴当时，取得极大值﹣1
所以在上单调递增，在上单调递减
极大值为﹣1，无极小值
【小问2详解】
由，得，
令，只需.
求导得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值，
∴k的取值范围为
22、（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）根据在处取极值可得，可求得，验证可知满足题意；根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（3）根据在上无零点可知在上的最大值和最小值符号一致；分别在，两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值，利用符号一致构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意得：
在处取极值 ，解得：

则当时，，单调递减；
当时，，单调递增
为极小值点，满足题意 函数
当时，
由得：
在处的切线方程为：，即：
（2）由题意知：函数的定义域为，
①当时
若，恒成立，恒成立
在内单调递减
②当时
由，得：；由得：
在内单调递减，在内单调递增
综上所述：当时，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增
（3）①当时，在上单调递减
在上无零点，且

②当时
（i）若，即，则在上单调递增
由，知符合题意
（ii）若，即，则在上单调递减
在上无零点，且

（iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增
，，
符合题意
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到导数几何意义、极值与导数的关系、讨论含参数函数的单调性、根据区间内零点个数求解参数范围问题.本题的关键是能够通过分类讨论的方式，确定导函数的符号，从而判断出函数的单调性以及最值.