江苏省沭阳县华冲高级中学2025-2026学年数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

江苏省沭阳县华冲高级中学2025-2026学年数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．等差数列中，，，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）

A.
B.
C.
D.
4．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
5．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）
A. B.
C. D.
6．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. B.2
C. D.
7．在四棱锥中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0
C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝0
9．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）
A. B.
C. D.
10．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（）

A.圆上 B.双曲线上
C.抛物线上 D.椭圆上
11．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A.14 B.9
C.4 D.2
12．某班新学期开学统计新冠疫苗接种情况，已知该班有学生45人，其中未完成疫苗接种的有5人，则该班同学的疫苗接种完成率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为______
14．写出直线一个方向向量______
15．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
18．（12分）已知曲线：.
（1）若曲线是双曲线，求的取值范围；
（2）设，已知过曲线的右焦点，倾斜角为的直线交曲线于A，B两点，求.
19．（12分）在①直线l：是抛物线C的准线；②F是椭圆的一个焦点；③，对于C上的点A，的最小值为；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．已知抛物线C：的焦点为F，满足_____
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）是抛物线C上在第一象限内的一点，直线：与C交于M，N两点，若的面积为，求m的值
20．（12分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其一分
一分钟跳绳个数

成绩(分)
16
17
18
19
20
频率

（1）若每分钟跳绳成绩不足18分，则认为该学生跳绳成绩不及格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格的人数为多少？
（2）该学校决定由这次跳绳测试一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生组成“小小教练员"团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中选派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率
21．（12分）已知四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，G是的中点

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值
22．（10分）给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.
【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为
故选：B
2、B
【解析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.
【详解】在等差数列中，因，，而，于是得，解得，
所以.
故选：B
3、D
【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】
，
故选：D
4、D
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，
故选：D.
5、D
【解析】利用抽样的性质求解
【详解】所有学生数为，
所以所求概率为.
故选：D
6、A
【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
7、A
【解析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
因为分别为的中点，则,,

,
故选：A.
8、C
【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.
【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0
则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0
故选：C
9、D
【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.
【详解】由题意，设抛物线标准方程为，
所以，解得，
所以抛物线标准方程为.
故选：D
10、A
【解析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果.
【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形，
则，，因为为底面内的一动点，所以可设，
因此，，
因为平面，所以，因此，
所以由得，
即，整理得：，表示圆，
因此，动点的轨迹在圆上.
故选：A.

【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
11、C
【解析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.
【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，
则在双曲线中，，即有，解得，
所以.
故选：C
12、D
【解析】利用古典概型的概率求解.
【详解】该班同学的疫苗接种完成率为
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设切点为，根据题意，列出点满足的关系式即．则点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求点的轨迹方程
【详解】设动圆和定圆内切于点，
动点到定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即，
点的轨迹是以，为两焦点，长轴长为10的椭圆，
，
点的轨迹方程为，
故答案：
14、
【解析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.
【详解】由题意可知，直线可以化为，
所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.
故答案为：.
15、27
【解析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案
【详解】设公比为，插入的三个数分别为，
因为，所以，得，
所以，
故答案为：27
16、
【解析】构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.
【详解】当时，不等式恒成立，
所以，所以在上是增函数，
，则上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）当或时，有最大值是20
【解析】（1）用等差数列的通项公式即可.
（2）用等差数列的求和公式即可.
【小问1详解】
在等差数列中，∵,
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴当或时，有最大值是20
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用双曲线的标准方程直接列不等式组，即可求解；
（2）先求出直线l的方程为:，利用“设而不求法”和弦长公式求弦长.
【小问1详解】
要使曲线：为双曲线，
只需，解得：，
即的取值范围.
【小问2详解】
当m=0时,曲线C的方程为,可得，
所以右焦点，由题意可得直线l的方程为:.
设,联立整理可得：,可得：所以弦长，
所以
19、（1）
（2）或.
【解析】（1）选条件①，由准线方程得参数，从而得抛物线方程；
选条件②，由椭圆的焦点坐标与抛物线焦点坐标相同求得得抛物线方程；
选条件③，由F，A，B三点共线时，，再由两点间距离公式求得得抛物线方程；
（2）求出点坐标，由点到直线距离公式求得到直线的距离，设，，直线方程代入抛物线方程，判别式大于0保证相交，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再计算出三角形的面积后可解得
【小问1详解】
选条件①：由准线方程为知，所以抛物线C的方程为
选条件②：因为抛物线的焦点坐标为所以由已知得椭圆的一个焦点为.所以，又，所以，所以抛物线C的方程为
选条件③：由题意可知得，当F，A，B三点共线时，，
由两点间距离公式，解得，所以抛物线C的方程为.
【小问2详解】
把代入方程，可得，设，，
联立，消去y可得，由，解得，
又知，，
所以，
由到直线的距离为，所以，
即，解得或
经检验均满足，所以m的值为或.
20、（1）14人；（2）.
【解析】（1）根据频率直方表区间成绩及其对应的频率，即可求每分钟跳绳成绩不足18分的人数.
（2）由表格数据求出一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生共6人，列举出六人中选两人参加比赛的所有情况、小明和小华至少有一个被选派的情况，由古典概型的概率求法即可得小明和小华至少有一人被选派的概率.
【详解】（1）由表可知，每分钟跳绳成绩不足18分，即为成绩是16分或17分，
在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格人数为：人)
（2）一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生频率为，其人数为：(人)，
记小明为，小华为，其余四人为，则在这六人中选两人参加比赛的所有情况为：，共15种，
其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：，共9种，
小明和小华至少有一人被选派的概率为：.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，线段的中点为H，分别连接，可证，从而可得平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：设，线段的中点为H，分别连接

又因为G是的中点，
所以
因为四边形为矩形，据菱形性质知，O为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：据四边形是菱形的性质知，
又因为平面平面，平面，
平面平面，故平面，
所以以分别为x轴，y轴，以过与的交点O，且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则有，
所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
所以，
所以二面角的正弦值为
22、（1）
（2）
【解析】（1）若选①，则根据等差数列的前n项和公式，结合，求得公差，可得答案; 若选②，则根据，，成等比数列，列出方程，结合，求得公差，可得答案; 若选③，则根据，列出方程，结合，求得公差，可得答案;
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法，求得答案.
【小问1详解】
设数列的公差为d
选择①，由题意得，又，则，所以；
选择②，由，，成等比数列，得，即，
解得，或（舍去），所以；
选择③，由，得，解得，所以
【小问2详解】
由题意知，
∴①
②
①－②得

∴，即.