江苏省镇江心湖高级中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

江苏省镇江心湖高级中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A.2 B.3
C.-2 D.-3
2．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.2
3．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．设、是向量，命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5．直线经过两点，那么其斜率为（）
A. B.
C. D.
6．若，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
7．经过两点直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
8．若双曲线的一条渐近线方程为.则（）
A. B.
C.2 D.4
9．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. B.2
C. D.
10．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）
A. B.
C. D.或
11． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）
A.50% B.30%
C.10% D.60%
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________
14．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
15．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.
16．已知函数，则不等式的解集为____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）
（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值
18．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19．（12分）已知数列的前n项和为，且
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和为
20．（12分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题
已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和
21．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100
（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望
附：，其中n=a+b+c+d

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

22．（10分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.
【详解】因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A
2、A
【解析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.
故选：A.
3、B
【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
4、C
【解析】利用原命题与逆否命题之间的关系可得结论.
【详解】由原命题与逆否命题之间的关系可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.
故选：C.
5、B
【解析】由两点的斜率公式可得答案.
【详解】直线经过两点，则
故选：B
6、D
【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.
【详解】对于选项A：若，则，
由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
7、B
【解析】求出直线的斜率后可得倾斜角
【详解】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故选：B
8、C
【解析】求出渐近线方程为，列出方程求出.
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.
故选：C
9、A
【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
10、D
【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.
【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；
当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；
故选：D.
11、B
【解析】求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，因“”“”且“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
12、A
【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.
【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，
甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，
所以甲、乙两人下成平局的概率为.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##9.5
【解析】根据给定条件计算当时，的值，再结合等比数列性质计算作答.
【详解】函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
14、2
【解析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
15、4
【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，
故答案为：4
16、
【解析】易得函数为奇函数，则不等式即为不等式，利用导数判断函数得单调性，再根据函数得单调性解不等式即可.
【详解】解：函数得定义域为R，
因为，所以函数为奇函数，
则不等式即为不等式，
，
所以函数在R上是增函数，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (I) 见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到椭圆C的普通方程为，根据直线参数方程的几何意义求出直线的斜率，从而可得结果；（Ⅱ）把直线 的方程，代入中，利用直线参数方程的几何意义求出直线的斜率结合韦达定理可得结果.
试题解析：（Ⅰ）消去θ得到椭圆C的普通方程为
∵直线的斜率为，∴直线l的倾斜角为
（Ⅱ）把直线 的方程，代入中，
得
即，
∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝4
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得数列是公差为2的等差数列，再由，，成等比数列，列方程可求出，从而可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】解：（1）由，可得，
即数列是公差为2的等差数列.
所以，，
.
由题意得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以数列的前项和
.
19、（1）证明见解析;
（2）.
【解析】（1）由已知得，当时，两式作差整理得，根据等比数列的定义可得证；
（2）由（1）求得，，再运用错位相减法可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为，……①，所以当时，，
当时……②，
则①-②可得，所以，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
【小问2详解】
解：由（1）知，即，
因为所以，
则……①，
①得……②，
①-②得 ，
所以.
20、；
【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与原式相减可得，取可求，由此可得，故，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，
【详解】解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为2，-1，2，-1，2，-1……，所以，
即，所以，
又，所以是以为首项，公比为-1的等比数列，
所以，即；
所以
选②：因为，易知，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，又，
时，，所以，因为，
所以也满足上式，所以，
即，以下过程与①相同
21、（1）有（2）分布列见解析，
【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；
（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”， 记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；
【小问1详解】
解：由题意，

所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，
∴，，，
X的分布列如下表：
X
0
1
2
P

22、（1）（2）（3）满足条件的直线不存在，详见解析
【解析】根据条件直接求出,进而求出椭圆标准方程;
设,表示出,求出其范围;
设CD的中点为;由,则;得到其斜率的乘积为,最后列取方程联立计算即可.
【详解】解：由题意可知,,则;
所以椭圆C的方程为:;
由题意可知,,设,
则,;
所以的取值范围是;
假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;
则设直线的方程为：；
消化简得:;
,则;
；
设，则CD的中点为；
,；
，则;
，即;即,无解;
故满足条件的直线不存在.
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,向量的数量积,直线的垂直,设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.