2025-2026学年湖北省十堰市第二中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年湖北省十堰市第二中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列求导不正确的是（ ）
A B.
C. D.
2．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）

A. B.
C. D.
3．设是公差的等差数列，如果，那么（）
A. B.
C. D.
4．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）
A. B.
C. D.
5．下列命题中正确的是（ ）
A.若为真命题，则为真命题
B.在中“”是“”的充分必要条件
C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”
D.命题，使得，则，使得
6．已知函数，则（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
7． “冰雹猜想”数列满足：，，若，则（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
8．下列说法错误的是（）
A.命题“，”的否定是“，”
B.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数m的最大值为2021
C.“”是“函数在内有零点”的必要不充分条件
D.已知，且，则的最小值为9
9．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B.
C. D.
10．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）

A. B.的最小正周期为6
C.图象关于直线对称 D.在上单调递减
11．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）

A. B.
C. D.
12．双曲线C：的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
14．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________

15．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.
16．已知函数，若有两个零点，则的范围是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为
（1）求圆的方程；
（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程
18．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，
（1）求椭圆E的方程；
（2）求的范围
19．（12分）已知椭圆的右焦点是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相切，且交圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线方程.
20．（12分）已知等差数列的前项的和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.
21．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
22．（10分）设，已知函数
（1）若，求函数在处切线的方程；
（2）求函数在上的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断
【详解】A：；
B：；
C：；
D：
故选：C
2、D
【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
，
即，当且仅当，即，时等号成立，
此时
故选：D
3、D
【解析】由已知可得，即可得解.
【详解】由已知可得
.
故选：D.
4、C
【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】解：由题，设抛物线的方程为，
因为在抛物线上，
所以，解得，即所求抛物线方程为
故选：C
5、B
【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.
【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；
在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；
命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；
命题，使得，则，使得，故D错误.
故选：B
6、C
【解析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.
【详解】，
，所以，所以
故选：C
7、A
【解析】根据题意分别假设为奇数、偶数的情况，求出对应的即可.
【详解】由题意知，
因为，
若为奇数时，，
与为奇数矛盾，不符合题意；
若为偶数时，，
可得，符合题意.
不符合
故选：A
8、C
【解析】对于A：用存在量词否定全称命题，直接判断；
对于B：根据充分不必要条件直接判断；
对于C：判断出“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件，即可判断；
对于D：利用基本不等式求最值.
【详解】对于A：用存在量词否定全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故A正确；
对于B：若“”是“或”的充分不必要条件，所以，即实数m的最大值为2021.故B正确；
对于C：“函数在内有零点”，则，解得：或，所以“”是“函数在内有零点”的充分不必要条件.故C错误；
对于D：已知，且，所以（当且仅当，即时取等号）故D正确.
故选：C
9、C
【解析】取AC的中点M，过点M作，且使得，进而证明平面，然后判断出是与平面所成的角，最后求出答案.
【详解】如图，取AC的中点M，因为，则，过点M作，且使得，则四边形BDNM是平行四边形，所以.

由题意，平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，连接DA,NA，则是与平面所成的角.而，于是，.
故选：.
10、D
【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质
结合周期公式逆推即可求解.
【详解】因为函数的图象与轴交于点，
所以，又，所以，A正确；
因为的图象与轴的一个交点为，即，
所以，又，解得，
所以，所以，
求得最小正周期为，B正确；
，所以是的一条对称轴，C正确；
令，解得，
所以函数在，上单调递减，D错误
故选：D.
11、C
【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
故选：C
12、D
【解析】根据给定的双曲线方程直接求出其渐近线方程作答.
【详解】双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，即有，而双曲线C的焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线的方程为，即.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②
【解析】以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性.
【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面、一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天.判断错误.
故答案为：① ②
14、
【解析】因为，
所以，
即， 故
15、
【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】，当时，，
所以切线方程为，即；
令可得，令可得；
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
16、
【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.
【详解】,
当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以在时取得极小值为，也是最小值，
因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，
所以要使有两个零点，只要，即就可以了.
所以的范围是
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）或
【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；
（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，
因为圆心到直线的距离为，解得，
所以圆心的坐标为或，半径为，
因此，圆的标准方程为或.
【小问2详解】
解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.
因为，所以圆心到直线的距离.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据离心率及通径长求出椭圆方程；（2）分直线AB斜率存在和斜率不存在两种情况得到的范围，进而得到答案.
【小问1详解】
当轴时，取代入椭圆方程得：，得，
所以，又，解得，，所以椭圆方程为
【小问2详解】
由，记，
当轴时，由（1）知：，
所以，
当AB斜率为k时，直线AB为，
，消去y得，
所以，，

所以，综上，的范围是.
19、（1）；（2），.
【解析】（1）由的最小值为1，得到，再由， 结合，求得的值，即可求得椭圆的方程.
（2）设切线的方程为，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意，点椭圆上的一动点，且的最小值是1，得，
因为当垂直长轴时，可得，所以，即，
又由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知切线的斜率一定存在，否则不能形成，
设切线的方程为，
联立，整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简得，则，
因为点到直线的距离，
所以，即，
故的面积为，
因为，可得，即，函数在上单调递增，
所以，当时取等号，
则，即面积的最大值为.
当时，此时，所以直线的方程为.
【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：
1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；
2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.
20、 (1) (2)1
【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以 解得
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知
∴
,
∴，∴，∴的最小正整数为1
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

22、（1）
（2）当0≤a<2时，f（x）max=8- 5a；当a≥2时，f（x）max=-a
【解析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）先求函数的导数，令导数等于零，求得两极值点，然后讨论极值点是否在所给区间内，再结合比较区间端点处的函数值的大小，可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，即a=0,
所以，f（1）=1,
所以切线方程：y-1= 3（x-1），即.
【小问2详解】
,令得,
①当a=0时，f（x）= x3在[0，2]上为单调递增函数，
所以f（x）max= f（2）= 8；
②当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上为单调递减函数，
所以;
③当时，即0<a<3时，f（x）在上单调递减，在单调递增，
所以f（x） = max{f（0），f（2）}，
（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max =f（0）=-a，
（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）= 8- 5a；
综上，当0≤a<2时，f（x）max=f（2）=8- 5a；当a≥2时，f（x）max= f（0）=-a