云南省大理市下关第一中学2025年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

云南省大理市下关第一中学2025年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）
A. B.
C. D.
3．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）

A.
B.
C.
D.
4．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A.44 B.
C.66 D.
5．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
6．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）
A. B.
C. D.
9．已知点是椭圆上一点，点，则的最小值为
A. B.
C. D.
10．已知函数在处的导数为，则（ ）
A. B.
C. D.
11．已知等差数列，，，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
12．在等差数列中，，则的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，则___________.
14．圆被直线所截得弦的最短长度为___________.
15．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
16．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；‚给定n，对于一些，都有；ƒ存在使和同号；„.其中正确命题的序号为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围
18．（12分）已知二次函数，令，解得.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
19．（12分）已知数列通项公式为：，其中．记为数列的前项和
（1）求，；
（2）数列的通项公式为，求的前项和
20．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.
（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；
（2）求长.
21．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线上点都在轴及其右侧，且曲线上的任一点到轴的距离比它到圆的圆心的距离小1
（1）求曲线的方程；
（2）已知过点的直线交曲线于点，若,求面积
22．（10分）已知函数
（1）求曲线在点（e，）的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先求出向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式即可求解.
【详解】解：由题知，点在内，点在外，
所以
又向量为平面的法向量
所以点到平面的距离为：
故选：A.
2、A
【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A
3、D
【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案
【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线
A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误
B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；
C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；
D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；
故选：D.
4、D
【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.
【详解】因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，
则,
故选：.
5、A
【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.

6、D
【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.
【详解】三角形有两个解，，即.
故选：D.
7、A
【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.
【详解】∵ ，
∴ （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
∴ （当且仅当时等号成立），
若，则，
∴ ，
所以“”是“”的充分条件，
当时，，此时，
∴“”不是“”的必要条件，
∴“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
8、D
【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.
详解】设
∵点P到y轴的距离是4
∴
∵，∴.
得
：.
故选：D.
9、D
【解析】设，则，.
所以当时，的最小值为.
故选D.
10、C
【解析】利用导数的定义即可求出
【详解】
故选：C
11、A
【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.
【详解】因为等差数列，，，
所以，
所以，

所以数列的前项和为
故B，C，D错误.
故选：A.
12、A
【解析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.
【详解】等差数列中,,，由通项公式可得

解得
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】根据空间向量的数量积运算的坐标表示运算求解即可.
【详解】解：因为，，
所以.
故答案为：
14、
【解析】首先确定直线所过定点；由圆的方程可确定圆心和半径，进而求得圆心到的距离，由此可知所求最短长度为.
【详解】由得：，直线恒过点；
，在圆内；
又圆的圆心为，半径，
圆心到点的距离，
所截得弦的最短长度为.
故答案为：.
15、
【解析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
16、‚
【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对‚和ƒ，利用等差数列的通项公式可直接推导；对„，利用等差数列的前项和可直接推导.
【详解】不妨设等差数列的首项为
对，，可得：，解得：，即
又，则是递减的，则中的前5项均为正数，
所以和都是中的最大项，故正确；
对‚，
，故有：，故‚正确；
对ƒ，，又，则，说明不存在使和同号，故ƒ错误；
对„，有：

故并不是恒成立的，故„错误
故答案为：‚

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当时，或；当时，；当时，或
（2）
【解析】（1）由题意得对的值进行分类讨论可得不等式的解集；
（2）将条件转化为，，再利用基本不等式求最值可得的取值范围；
【小问1详解】
，即，
所以，
所以，
①当时不等式的解为或，
②当时不等式的解为，
③当时不等式的解为或，
综上：原不等式的解集为
当时或，
当时，
当时或
【小问2详解】
不等式在上有解，
即在上有解，
所以在上有解，
所以，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的两个根，根据根与系数之间的关系，即可求，；
（2）根据题意，得出不等式恒成立，则，解不等式即可求出实数的范围.
详解】解：（1）由题可知，，解得：，
则-3，2是方程的两个根，且，
所以由根与系数之间的关系得，解得，
所以二次函数的解析式为：；
（2）由于不等式恒成立，即恒成立，
则，解得：，
所以实数的范围为.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求函数解析式，以及不等式恒成立问题求参数范围，考查根与系数的关系和一元二次函数的图象和性质，考查化简运算能力
19、（1）；；
（2）.
【解析】（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；
（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.
【小问1详解】
当时，；当时，；当时，；
数列是以为周期的周期数列；
，；
【小问2详解】
由（1）得：，，
，
，
两式作差得：.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.
（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.
【详解】（1）因为曲线（为参数），
所以曲线的普通方程为：.
（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，得.
，.
所以.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意直接列或根据抛物线的定义求轨迹方程
（2）待定系数法设直线方程，联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义，利用韦达定理解出直线方程，再求面积
【小问1详解】
解法1：配方法可得圆的方程为，
即圆的圆心为，
设的坐标为，由已知可得，
化简得，曲线的方程为
解法2：配方可得圆的方程为，
即圆的圆心为，
由题意可得上任意一点到直线的距离等于该点到圆心的距离，
由抛物线的定义可得知，点的轨迹为以点为焦点的抛物线，
所以曲线的方程为
【小问2详解】
抛物线的焦点为，准线方程为，
由，可得的斜率存在，设为，，
过的直线的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
设，的横坐标分别为，，可得，，
由抛物线的定义可得
，解得，
即直线的方程为，
可得到直线的距离为，
，
所以的面积为
22、（1）；（2）在单调递减，在单调递增
【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可
【详解】解：（1）由得，
所以切线斜率为
切点坐标为，
所以切线方程为，即；
（2），
令，得
当时，；
当时，，
∴在单调递减，在单调递增