2025年湖北鄂州市数学高二第一学期期末考试试题含解析.doc

2025年湖北鄂州市数学高二第一学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则（）
A. B.0
C. D.1
5．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
6．圆与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.内含
C.相切 D.相交
7．在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（）
A.16 B.16或-16
C.32 D.32或-32
8．数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
9．双曲线C：的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，直三棱柱的所有棱长均相等，P是侧面内一点，设，若P到平面的距离为2d，则点P的轨迹是（ ）

A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分
11．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线方程为______.
14．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____
15．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.
16．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
18．（12分）设函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围
19．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性：
（2）若对恒成立，求的取值范围
20．（12分）已知函数在区间上有最大值和最小值
（1）求实数、的值；
（2）设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围
21．（12分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2

（1）求圆C的方程；
（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由
22．（10分）某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．
时间
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
降雨量y
29
28
26
27
25
23
24
22
21
经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程，并计算如果该地区2021年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）
参考公式：，
参考数据：，，，
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
2、C
【解析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.
【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.
3、C
【解析】利用基本不等式判断命题的真假，由不等式性质判断命题的真假，进而确定它们所构成的复合命题的真假即可.
【详解】由，当且仅当时等号成立，故不存在使，
所以命题为假命题，而命题为真命题，则为真，为假，
故为假，为假，为真，为假.
故选：C
4、B
【解析】先求导，再代入求值.
详解】，所以.
故选：B
5、C
【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.
【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，
∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，
∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
故选C
【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、D
【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.
【详解】圆的圆心为 ，半径为
圆的圆心为 ，半径为
两圆心间的距离为
由，所以两圆相交.
故选：D
7、C
【解析】首先根据a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.
【详解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.
故选：C
8、A
【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.
【详解】根据规律可知数列的前三项为，
所以该数列一个通项公式为
故选：A
9、D
【解析】根据给定的双曲线方程直接求出其渐近线方程作答.
【详解】双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，即有，而双曲线C的焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线的方程为，即.
故选：D
10、B
【解析】取的中点，得出平面，作，在直角中，求得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
得到平行于平面且过点的平面，如图（1）（2）所示，
作，则P1与 E重合，则，
在直角中，可得，
在图（3）中，设直三棱柱的所有棱长均为，且，
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，即
所以，整理得，
所以点P的轨迹是椭圆的一部分.

故选：B.
11、A
【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，
，
所以为直径的圆的圆心为，半径为.
直线的方程为，
由于以线段为直径的圆与相交，
所以，，
，
，
，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
12、B
【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.
【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，
故，
，
，

，
，
等式左右两边分别相加得，

，
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.
【详解】解：由，
得，
则，
即当时，，
所以切线方程为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.
14、4
【解析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意得，
由抛物线的定义知：，
故答案为：4.
15、
【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.
详解】由直线和互相平行，
得 ，即.
故答案为：.
16、4
【解析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意：抛物线的准线为，设点P的纵坐标为，
由抛物线定义可得，解得，
所以点P的纵坐标为4.
故答案为：4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
18、（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）.
【解析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；
（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
记，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
令，得，记，
则，令得，列表得．
x

0

↘
极小值
↗
要使在上有两个零点，则，所以
且函数在和上各有一个零点
当时，，，，
则，故上无零点，
与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件
所以，又因为，所以考虑，
设，，则，则在上单调递减，
故当时，，
所以，且，
因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点
综上可知，实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
19、（1）答案不唯一，具体见解析
（2）
【解析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
当时，令，得，令，得；
当时，令，得，令，得
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
解：由（1）知，函数在上单调递增，
则，
所以对恒成立等价于对恒成立
设函数，则，
设，则，则在上单调递减，
所以，则，
所以在上单调递减，
所以；
故，即的取值范围是
20、（1），；
（2）.
【解析】（1）分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；
（2）由（1）可得，利用参变量分离法可得出，利用单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的对称轴是，
又，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取最小值，当时，取最大值，
即，解得.
【小问2详解】
解：由（1）知：，
所以，，又，，
令，则在上是增函数．所以，，
要使在上恒成立，只需，
因此，实数的取值范围为
21、（1）.
（2）.
【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；
（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.
小问1详解】
解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，
设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，
所以，圆心C的坐标为(2,1)，
所以圆C的方程为；
【小问2详解】
解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，
检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.
22、（1），；（2）；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm
【解析】（1）利用概率模拟求概率；
（2）套用公式求回归直线方程即可.
【详解】解：（1）由题意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，
所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，
故所求的概率为；
（2）由题中所给的数据可得，，
所以，，
所以回归方程为，
当时，，
所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm
【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出；②套公式求出；③写出回归方程；④利用回归方程进行预报；