山西省祁县第二中学2025年数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

山西省祁县第二中学2025年数学高二上期末检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，，，则此三角形（ ）
A.无解 B.一解
C.两解 D.解的个数不确定
2．甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.
A.6 B.8
C.10 D.12
3．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4．在等比数列中，，，则（ ）
A. B.或
C. D.或
5．若向量则（）
A. B.3
C. D.
6．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7． “椭圆的离心率为”是“”的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
8．椭圆的长轴长是（）
A.3 B.6
C.9 D.4
9．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
10．将一个表面积为的球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（ ）
A. B.
C. D.
11．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12．命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是
A.若是偶数，则与不都是偶数
B.若是偶数，则与都不是偶数
C.若不是偶数，则与不都是偶数
D.若不是偶数，则与都不是偶数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.
14．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________

15．四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4

（I）证明：AB⊥面BCDE；
（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值
16．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，直线垂直于平面分别为的中点，直线与相交于点.

（1）证明：与不垂直；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为
求椭圆的标准方程；
过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围
20．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有且仅有2个零点，求实数的值.
21．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值
22．（10分）如图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且平面与平面垂直，如图2

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点P，使平面与平面的夹角为？若存在，则求三棱锥的体积，若不存在，则说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解
故选：C
2、C
【解析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.
【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为，
若甲是第三名，4人的排名为，
所以4人的排名有种情况.
故选：C
3、C
【解析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：C
4、C
【解析】计算出等比数列的公比，即可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，.
故选：C.
5、D
【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得
【详解】由于向量，，所以.
故
故选：D
6、B
【解析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.
【详解】易知点、，设点，其中，，且，
，且，
，，所以，，
，
因为，
所以，，则，
因此，该双曲线渐近线方程为.
故选：B.
7、C
【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；
当椭圆的焦点在轴上时，，得
故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件
故选：C.
8、B
【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.
故选：B
9、B
【解析】由前项和公式直接作差可得.
【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以
.
故选：B.
10、C
【解析】求出球的半径，要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，从而可得出答案.
【详解】解：设球的半径为，则，得，故该球的半径为11cm，
若要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm，所以这个正方体盒子的最小体积为.
故选：C.
11、B
【解析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
12、C
【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数
考点：四种命题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数.
【详解】解：由圆，可得：，
可得其圆心为，半径为；
由，可得，
可得其圆心为，半径为2；
所以可得其圆心距为：，
可得：，
故两圆相交，其公切线条数为,
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题.
14、
【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.
【详解】设直线的方程为，
联立，整理可得，
因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根
设点、，设的中点为，
则，，
直线的垂直平分线的方程为，
令，则.
因为，所以
故点的横坐标的取值范围.
故答案为：
15、 (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).
【解析】（Ⅰ）推导出BE⊥BC，从而BE⊥平面ABC，进而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能证明AB⊥面BCDE
（Ⅱ）以B为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值
【详解】由侧面底面，且交线为，底面为矩形
所以平面，
又平面，所以
由面面，
同理可证，
又面
在底面中，，
由面，
故,
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,
设平面的法向量，
则，
取
所以平面的法向量，
同理可求得平面的法向量.
设二面角的平面角为，
则
故所求二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
16、##
【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，
由图可知，平移基准直线到点时，
取得最大值为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）分布列见解析；
【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【小问1详解】
名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
【小问2详解】
由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：

数学期望为
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，计算得出，即可证得结论成立；或利用反证法；
（2）利用空间向量法即求.
【小问1详解】
方法一：如图以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、
设，因为，，
因为，所以，得，即点，
因为，，
所以，
故与不垂直
方法二：假设与垂直，又直线平面平面，
所以.而与相交，
所以平面
又平面，
从而
又已知是正方形，
所以与不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，
即与不垂直得证.
【小问2详解】
设平面的法向量为，又，
因为，
所以，令，得.
设平面的法向量为，
因为，所以，
令，得.
因为.
显然二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值是.
19、（1）（2）
【解析】根据，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．列出关于 、 、的方程组，求出 、的值，即可得出椭圆的方程；对直线和分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案
【详解】易知，得，则，
而，又，得，，
因此，椭圆C的标准方程为；
当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得；
当两条直线斜率都存在且不为0时，由知，
设、，直线MN的方程为，则直线PQ的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：，
显然，，，
，同理得，
所以，，
令，则，，设，
，所以，，所以，，则
综合可知，的取值范围是
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
20、（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）
【解析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）利用导数研究的单调性、极值，从而求得的值.
【小问1详解】
由，得，
令，得或；
令，得.
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.
【小问2详解】
∵，∴.
当时，；当时，
∴的单调递减区间为，；单调递增区间为.
∴的极小值为，极大值为.
当时，；当时，.
又∵函数有且仅有2个零点，
∴实数的值为.
21、（1）
（2）或
（3）
【解析】（1）解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可；解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可；
（3）由几何法求弦长得，进而到直线距离的最大值为，再计算面积即可.
【小问1详解】
解：解法一：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得，
所以圆的标准方程为；
解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，
将代入，得，即，
半径，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率存在时，设，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时，
当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切
所以直线的方程为或；
【小问3详解】
解：圆心到直线的距离，
所以，
则点到直线距离的最大值为，
所以的面积的最大值
22、（1）
（2）存在，靠近点D的三等分点.
【解析】（1）由题意建立空间直接坐标系，求得的坐标，由求解；
（2）假设棱上存在点P，设，求得点p坐标，再求得平面PBE的一个法向量，由平面，得到为平面的一个法向量，然后由求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以四边形ABCE是平行四边形，又，
所以四边形ABCE是菱形，，
又平面与平面垂直，又平面与平面=EB，
所以平面，
建立如图所示空间直接坐标系：

则，
所以，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值是；
【小问2详解】
假设棱上存在点P，使平面与平面的夹角为，
设，则，
又，
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，
则，
由平面，则为平面的一个法向量，
所以，
解得.