江西省南昌市外国语学校、南昌一中2025年高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

江西省南昌市外国语学校、南昌一中2025年高二数学第一学期期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的导数记为，则等于（）
A. B.
C. D.
2．已知直线和互相平行，则实数（ ）
A. B.
C.或 D.或
3．在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（）
A. B.4
C. D.
4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
6．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）
A. B.
C.8 D.
7．双曲线的渐近线方程和离心率分别是
A. B.
C. D.
8．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　）
A. B.
C. D.
9．已知，若，是第二象限角，则=（）
A. B.5
C. D.10
10．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（）
A. B.13
C.3 D.5
11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线的虚轴长为，且以、为顶点，以直线、为渐近线，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B.
C. D.
12．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点P，则的面积为___________.
14．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.
15．若直线与圆有公共点，则b的取值范围是_____
16．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目
设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且______
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，令，求数列的前n项和
19．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA、OB，l于点P、Q、N

（1）试探索PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
（2）当P、Q是线段MN的三等分点时，求直线AB的斜率；
（3）当P、Q不是线段MN的三等分点时，证明：以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP
21．（12分）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
22．（10分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】求导后代入即可.
【详解】，.
故选：D.
2、C
【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.
【详解】由题意，直线和互相平行，
可得且，
即且，解得或.
故选：C.
3、C
【解析】利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】由点是的中点，
则，
又因为点在线段上，则，
所以，
当且仅当，时取等号，
故选：C
【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4、C
【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
5、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
6、B
【解析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，
因为抛物线的准线方程为，所以，解得.
故选：B.
7、A
【解析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.
【详解】双曲线的，
双曲线的渐近线方程为，
离心率为，故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解
8、B
【解析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】在中，由正弦定理得：.
故选：B.
9、D
【解析】先由诱导公式及同角函数关系得到，再根据诱导公式化简，最后由二倍角公式化简求值即可.
【详解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，
∴
故选：D
10、B
【解析】利用椭圆的定义求解.
【详解】如图所示：

，
故选：B
11、C
【解析】不妨取点在第一象限，根据椭圆与双曲线的几何性质，以及它们之间的联系，可得点的坐标，再将其代入椭圆的方程中，解之即可
【详解】解：由题意知，
在椭圆中，有，
在双曲线中，有，，即，
双曲线的渐近线方程为，
不妨取点在第一象限，则的坐标为，即，
将其代入椭圆的方程中，有，
，解得，
椭圆的短轴长为
故选：
12、D
【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，
∴，，
∴，
所以AN与BM所成角的余弦值为.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先得出渐近线方程和圆的方程，然后解出点P的纵坐标，进而求出面积.
【详解】由题意，渐近线方程为：，，圆的方程为：，联立：，所以.
故答案为：.
14、
【解析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.
【详解】定义域为，，
当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；
当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.
故答案为：
15、
【解析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.
【详解】直线即，
圆的圆心为，半径为，
若直线与圆有交点，则，
解得,
故实数取值范围是.
故答案为：
16、 ①.##0.25 ②.6
【解析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解.
【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前天打洞之和为，
∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为；
大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前天打洞之和为，
∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为，且数列为递增数列，
而，，又城墙厚40尺，
所以这两只老鼠至少6天相遇.
故答案为：；6.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）105种（2）105种（3）87种
【解析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；
（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；
（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.
【详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，
间接法：
（2）直接法：，
间接法：
（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类
第一类：若有张雅，
第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种
【点睛】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）选择不同的条件，再通过构造数列以及累乘法即可求得对应情况下的通项公式；
（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法求其前项和即可.
【小问1详解】
选①：∵，即，∴.
即，∴数列是常数列，
∴，故；
选②：∵，∴时，，
则，即
∴，∴；
当时，也满足，∴；
选③：得，
所以数列是等差数列，首项为2，公差为1
则，∴.
【小问2详解】
由（1）知当时，，∴
又∵时，，符合上式，∴
∴
∴
而
相减得

∴.
19、（1）x2＝8y
（2）16
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；
小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.
【小问1详解】
由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以，则p＝4，
所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；
【小问2详解】
由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得x2﹣8x﹣16＝0，，
所以x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝16
20、（1），证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）根据已知条件设出直线方程及，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质即可求解；
（2）根据已知条件得出，运用韦达定理和弦长公式，可得出直线的斜率；
（3）根据（1）的结论及求根公式，求得点的坐标，结合的表达式，结合图形可知,由的范围和的取值即可证明.
【小问1详解】
由题意可知，抛物线的焦点为,
设直线的方程为，则
，消去，得，
，
，
所以直线的方程为，
由因为三点共线，所以，
，
同理，
，
,
所以，所以.
【小问2详解】
因为P、Q是线段MN的三等分点，所以，
，，
又，
，
所以，
所以，解得或（舍）
所以直线AB的斜率为.
【小问3详解】
由（1）知，，得，

所以，，
又,
,
,
,
当时，,
由图可知，,而只要，就有,
所以当P、Q不是线段MN的三等分点时，以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP

21、（1）
（2），
【解析】(1)根据导数的几何意义即可求解；
(2)根据导数的正负判断f(x)的单调性，根据其单调性即可求最大值和最小值.
【小问1详解】
，切点为(1，－2)，
∵，∴切线斜率，切线方程为；
【小问2详解】
令，解得，

1

2

0

0

极大值

极小值

2
∵，，
∴当时，，.
22、（1），
（2）证明见解析，定点
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.
【小问1详解】
设抛物线的标准方程为，，其焦点为
则，
∴
所以抛物线的方程为.
，所以，所以.
因为，所以，所以.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），
联立方程得
设两个交点，（，）.
所以
所以，
即
整理得，此时恒成立，
此时直线l的方程为，可化为，
从而直线过定点.