2026届宁夏银川市第二中学数学高二上期末监测试题含解析.doc

2026届宁夏银川市第二中学数学高二上期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）
A. B.
C. D.
2．已知集合，，则
A. B.
C. D.
3．等差数列中，若，则（ ）
A.42 B.45
C.48 D.51
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A. B.2
C. D.
5．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（ ）
A.2021 B.2022
C.4041 D.4042
6．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
7．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ）
A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列
C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列
8．已知函数，.若存在三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
10．设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（ ）
A.3 B.4
C.2 D.不能确定
11．下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（）

A.10cm B.20cm
C.25cm D.30cm
12．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）
A.2192 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________
14．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______
15．设实数x，y满足，则的最小值为______
16．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．（12分） “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：

（1）利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；
（2）把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.

男
女
合计

30

合计
45

附表：
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
参考公式：χ2＝.
19．（12分）设函数，其中是自然对数的底数，.
（1）若，求的最小值；
（2）若，证明：恒成立.
20．（12分）已知函数的图像为曲线，点、.
（1）设点为曲线上在第一象限内的任意一点，求线段的长（用表示）；
（2）设点为曲线上任意一点，求证：为常数；
（3）由（2）可知，曲线为双曲线，请研究双曲线的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.
21．（12分）已知函数，.
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）若，求证：.
22．（10分）设数列的首项，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设且前项和为，求
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.
【详解】设高一年级学生人数为，
因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，
所以从高二和高三年级抽取人，
则，解得，
即高一年级学生人数为.
故选：B
2、B
【解析】由交集定义直接求解即可.
【详解】集合，，则.
故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
3、C
【解析】结合等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意是等差数列，
，
.
故选：C
4、A
【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知：，
该双曲线的焦点坐标为：，
双曲线的渐近线方程为：，
所以焦点到渐近线的距离为：，
故选：A
5、C
【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.
【详解】因为是等差数列且，，
所以，
，.
故选：C.
6、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
7、B
【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可
【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中
，所以是等方差数列，D正确
故选：B
8、B
【解析】根据题意，当时，有一个零点，进而将问题转化为当时，有两个实数根，再研究函数即可得答案.
【详解】解：因为存在三个零点，所以方程有三个实数根，
因为当时，由得，解得，有且只有一个实数根，
所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，
所以令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，
所以的图象如图所示，
所以有两个实数根，则
故选：B

9、A
【解析】直接求出，，进而求出渐近线方程.
【详解】中，，，所以渐近线方程为，故.
故选：A
10、A
【解析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得
，即可求解.
【详解】由可得，准线为，
设，由抛物线的定义可得，
因为过点作于，可得，
所以，
故选：A.
11、B
【解析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.
【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.
故选：B
12、D
【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.
【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第个月的还款金额为元，
则，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.(答案不唯一) ②.(答案不唯一)
【解析】令双曲线为，根据离心率可得，结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程，进而写出对应的渐近线方程.
【详解】由题设，可令双曲线为且，
∴，则，
故为其中一个标准方程，此时渐近线方程为.
故答案为：，(答案不唯一).
14、2400种
【解析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.
【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有（种）编排方法；
第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有（种）编排方法；
第三步：剩下的5节课安排5科课程，有（种）编排方法
根据分步乘法计数原理知共有（种）编排方法
故答案为：2400种
15、5
【解析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解
【详解】画出可行域和目标函数如图所示：

根据平移知，当目标函数经过点时，有最小值为5.
故答案为：5.
16、
【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.
【详解】由直线可得，
所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；令可得；即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
18、（1），
（2）列联表见解析，没有
【解析】（1）根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为，从而可求出中位数，
（2）根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算χ2公式计算χ2，再根据临界值表比较可得结论
【小问1详解】
以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值为
0.
频率直方图中第一组、第二组的频率之和为，
中位数；
【小问2详解】
把下表中空格里的数填上，得列联表如下；

男
女
合计

25
25
50

20
30
50
合计
45
55
100
计算，
所以没有的把握认为网购消费与性别有关.
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，求出，可得答案；
（2）设，，，，，设，求出利用单调性可得答案.
【小问1详解】
当时，，
则，
所以单调递增，又，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以.
【小问2详解】
设，
若，则，
若，则，
设，
则，所以单调递增，又，
当时，，上单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，
综上，恒成立.
【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
20、（1）；
（2）具体见解析；（3）具体见解析.
【解析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；
（2）求出，进而讨论两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；
（3）根据为双曲线的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.
【小问1详解】
由题意，.
【小问2详解】
设，由（1），
.
若x>0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.
若x<0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.
综上：，为常数.
【小问3详解】
易知函数：为奇函数，则其图象关于原点对称.
由（2）可知，曲线为双曲线，为双曲线的焦点，则它关于直线对称，还关于与垂直且过原点的直线对称.
，则，易得.
综上：双曲线关于原点（0,0）对称，且关于直线对称.
容易知道，直线是双曲线C的渐近线.
易知线段是双曲线的实轴，将代入双曲线解得顶点：.
于是实轴长为焦距为，则离心率.
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.
（2）由（1）的结论，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.
【详解】（1）因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
则有在上恒成立，即.
令函数，，
所以时，，在上单调递增，
所以，
所以有，即，因此.
（2）由（1）可知当时，为增函数，
不妨取，则有在上单调递增，
所以，即有在上恒成立，
令，则有，
所以，
所以，
因此.
【点睛】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；
（2）计算，利用并项求和法可求得.
【小问1详解】
证明：对任意的，，则，且，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.
【小问2详解】
解：，
所以，，
因此，.