河北省保定市定州市2025-2026学年数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

河北省保定市定州市2025-2026学年数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）

A. B.
C. D.
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）
A.6 B.7
C.606 D.607
4．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）
A. B.
C. D.
5．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
6．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
7．已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．在等比数列中，若，，则（）
A. B.
C. D.
9．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（ ）
A.－2 B.1
C.2或－1 D.－2或1
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（ ）
A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件
C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件
11．若等差数列，其前n项和为，，，则（）
A.10 B.12
C.14 D.16
12．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.32 B.0.48
C.0.68 D.0.82
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______
14．命题“若，则”的否命题为______
15．已知曲线与曲线有相同的切线，则________
16．设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.

（1）求动点的轨迹；
（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；
（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.
18．（12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；
19．（12分）给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和
20．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
21．（12分）已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.
22．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.
（1）求角B；
（2）求a，c的值及的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.
【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，
故选：A
2、A
【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：A.
3、D
【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.
【详解】设，则，则，则，
，的数位是607.
故选：D.
4、D
【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.
【详解】若，则，而，
此时，这与题设不合，
故，故，
故
，
而
，
故，此时不确定，
故选：D.
5、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
6、B
【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.
【详解】
故选：B.
7、D
【解析】根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为：，半径，
由圆的割线定理可知：，显然有，或，
因为，所以，
于是有，
因为，
所以，而，或，
所以，
故选：D
8、D
【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.
【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.
故选：D
9、D
【解析】由题可得，即求.
【详解】由题意，得，
所以，因为，
所以，解得或.
故选：D.
10、D
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断
【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；
第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，
当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，
两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立
故选：D
11、B
【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.
【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，
，即，
得.
故选：B.
12、C
【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率
【详解】解：由题意得，解得，
所以离心率，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、7
【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.
【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，
由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：

由双曲线定义有，又，所以.
故答案为：
14、若，则
【解析】否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.
命题“若，则”的否命题为:若，则
考点：四种命题.
15、0
【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】设切点分别为，
由题意可得，则，即
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得
故答案为：0
16、
【解析】将变形为，令，，分别研究其单调性
及值域，使问题转化为即可.
【详解】由题，，
令，则，由，得，由，得，
所以在递减，在递增，所以，
令，则，由，得，由，得，
所以在递增，在递减，所以，
若存在实数使得成立，即存在实数使得成立，
即存在实数使得恒成立
所以，
即，解得，
所以取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得恒成立，结合的值域进一步转化为存在实数使得恒成立，再只需即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若，由两直线斜率积为-1，可得到关于与的等量关系，写出直线AB 的方程，将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点
【详解】（1）设，，.
由，得，即.
因为，所以，所以.
所以动点的轨迹为抛物线，其方程为.
（2）证明：设点，，
若直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，
又，，所以，
，整理得，
所以.
（3）因为，
所以，
即，①
直线的方程为：，
整理得：，②
将①代入②得，即，
当时，
即直线经过定点.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.
18、（1）（2）
【解析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；
（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.
【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，
所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.
（2）由题意，圆心到直线l的距离为，
所以P到直线的距离的最小值为.
【点睛】本题主要考查了圆标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）若选①，则根据等差数列的前n项和公式，结合，求得公差，可得答案; 若选②，则根据，，成等比数列，列出方程，结合，求得公差，可得答案; 若选③，则根据，列出方程，结合，求得公差，可得答案;
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法，求得答案.
【小问1详解】
设数列的公差为d
选择①，由题意得，又，则，所以；
选择②，由，，成等比数列，得，即，
解得，或（舍去），所以；
选择③，由，得，解得，所以
【小问2详解】
由题意知，
∴①
②
①－②得

∴，即.
20、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
 （2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
 （3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，
解得a=0.03.
 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
 ∵该校高一年级共有学生640人，
 ∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
 （3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
 若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
 则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
 (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生数学成绩之差的绝对值一定大于10.
 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
 则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
 ∴所求概率为P(M)=.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；
（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值
【小问1详解】
由题意知：
根据椭圆的定义得：，即
，
所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，的方程是
此时，所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，
由可得
显然△，则，
因为，
所以
所以，
此时
综上所述，为定值
22、（1）
（2），，
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面积.
【小问1详解】
由于，∴.
又∵，∴.∴.
【小问2详解】
∵，且，，，
∴，解得或（舍）.
∴，.∴.