山西省太原市重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

山西省太原市重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，若，，则外接圆半径为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B.
C. D.
4．直线的斜率为（）
A.135° B.45°
C.1 D.-1
5．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）
A. B.
C. D.
6．已知曲线，下列命题错误的是（ ）
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是圆，其半径为
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，为上任意一点，，为曲线的两个焦点，则
7．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A.12 B.13
C.14 D.15
8．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
甲
9
8
16
15
15
14
乙
7
8
13
15
17
22
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）
A.， B.，
C.， D.，
9．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B.
C. D.
10．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.150°
11．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）
A. B.
C. D.
12．已知命题,，则
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______
14．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.
15．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
16．已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且，若，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，是边长为4的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于两点，为何值时？
19．（12分）在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值
21．（12分）如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点.

（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
22．（10分）已知数列的前n项和，满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.
【详解】,,
,

解得
由正弦定理可得：，
所以
故选：A
2、A
【解析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】，解得或，
因为“”的必要不充分条件是“或”，
所以.
实数的最小值为.
故选：A
3、D
【解析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，可得，，，
设面的法向量为，有，取，则，
所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为
故选：D.
4、D
【解析】由斜截式直接看出直线斜率.
【详解】由题意得：直线斜率为-1，
故选：D
5、C
【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.
【详解】函数定义域为，求导得，
于是得函数的图象在点处切线的斜率，
而直线的斜率为，依题意，，即，解得，
所以.
故选：C
6、D
【解析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.
【详解】曲线，若，则是椭圆，其焦点在轴上，故A正确；
若，则，即是圆，半径为，故B正确；
若，则是双曲线，当，则渐近线方程为，当，则渐近线方程为，故C正确；
若，，则是双曲线，其焦点在轴上，由双曲线的定义可知，，故D错误；
故选：D
7、D
【解析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.
【详解】由曲线，可得，
即，为圆心为，半径为7半圆，
又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴.
故选：D.
8、B
【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.
【详解】依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
9、B
【解析】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得
详解：由题可知

在中，
在中,

故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题
10、C
【解析】先求斜率，再求倾斜角即可
【详解】解：直线的斜截式方程为，
∴直线的斜率，
∴倾斜角，
故选：C
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题
11、C
【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.
【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，
建立空间直角坐标系，设，，，
，，，所以，，
设异面直线，的夹角为，所以，
所以，即异面直线，的夹角为.
故选：C.

12、A
【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案
【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.
【详解】解：可设为第一象限的点，，，
由椭圆定义可得，
由双曲线的定义可得，
可得，，
由，可得，
即为，
化为，
则
故答案为：4
14、
【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值
【详解】由，得，则，
∵曲线在点处的切线平行于x轴，
∴，即.
故答案为：
15、
【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程
【详解】解：∵，∴，又，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
16、3
【解析】先求点坐标，再由已知得Q点坐标，由列方程得解.
【详解】抛物线： ()的焦点，
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，，，
因为，所以，
，所以3
故答案为：3.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）
【解析】（1）连接，证明，即可证明平面；
（2）取的中点，连接，由平面平面，得平面，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接，
是正方形，是的中点，是的中点，
是的中点，，
平面，平面，平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为是边长为4的正三角形，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.

18、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程
（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得
【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，
则，，，可得椭圆的标准方程为：
（2）设，，联立，化为：，
恒成立，
，，
，，
，
解得．满足
当时，能使
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题
19、（1）略（2）
【解析】（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，
②-①得.
试题解析：（1）∵， ，又∵，∴，
，∴则是为首项为公差的等差数列；
由（1）得 ，∴，
∴①，
①得：②，
②-①得.
考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.
【小问1详解】
椭圆的离心率，又，∴
∵椭圆C：经过点，解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，
由消去y，得
∵点在椭圆C上，则有，即
同理可得
∴，又
∴直线MN的斜率为
【点睛】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取中点，由面面垂直和线面垂直性质可证得，结合，由线面垂直判定可证得平面，由线面垂直性质可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
取中点，连接，

为等边三角形，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
分别为中点，，又，，
平面，，平面，
又平面，.
【小问2详解】
以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
设，则，，
由得：，解得：，即，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，；
由图象知：二面角为锐二面角，二面角的大小为.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先将变为，然后等式两边同除即可得答案；
（2）求出，再用错位相减求和
【小问1详解】
证明：∵
∴
由已知易得，
∴
∴数列是首项，公差为的等差数列；
【小问2详解】
由（1）可知，
∴
∴①
②
①－②有

∴