青海省黄南市2025-2026学年数学高二上期末检测试题含解析.doc

青海省黄南市2025-2026学年数学高二上期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若命题为“，”，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
2．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（ ）
A.1 B.2
C. D.4
4．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（）
A.96 B.97
C.98 D.99
5．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）
A.3 B.4
C.6 D.8
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B.
C. D.
7．已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
8．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
9．已知全集，，（）
A. B.
C. D.
10．圆与直线的位置关系为（）
A.相切 B.相离
C.相交 D.无法确定
11．已知，则“”是“直线与平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线与直线交于D，E两点，若（点O为坐标原点）的面积为16，则抛物线的方程为______；过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则______
14．设变量x，y满足约束条件则的最大值为___________.
15．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____
16．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高二被抽取的人数为__.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，，，请再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，然后解答下列问题.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
条件①：；条件②：.
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：点（n，bn）在曲线y＝上，a1＝b4，___，数列{}的前n项和为Tn
从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出满足题意的k值；若不存在，请说明理由
19．（12分）已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列
①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列；
②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列;
在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和.
20．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离.
21．（12分）已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.
22．（10分）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）
（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；
（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“，”的否命题为“，”，
故选：B
2、C
【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.
【详解】因为，在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为.
故选：C.
3、B
【解析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.
【详解】设，，
所以，即，
即，得，短轴长为.
故选：B
4、C
【解析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C
5、D
【解析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果
【详解】设，，则的中点到轴的距离为，则
故选：D
6、A
【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
7、D
【解析】由直线的倾斜角为，可得，结合，可推得是等边三角形，可得，计算可得离心率
【详解】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
所以，
又是的中点，是的中点，所以，
又，所以，又，所以是等边三角形，
所以，又在椭圆上，所以，
所以，所以离心率为，
故选：

8、C
【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.
【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，
又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.
故选：.
9、C
【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.
【详解】因，所以，则，
又，所以，即.
故选：C
10、C
【解析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
11、A
【解析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件.
故选：A.
12、A
【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，

∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.1
【解析】利用的面积列方程，化简求得的值，从而求得抛物线方程.将的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合根与系数关系求得.
【详解】依题意可知，
，
所以，解得.
所以抛物线方程为.
焦点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
，即，
此时.
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，
则，
结合抛物线的定义可知
.
故答案为：；
14、
【解析】根据线性约束条件画出可行域，把目标函数转化为，然后根据直线在轴上截距最大时即可求出答案.
【详解】画出可行域，如图，

由，得，
由图可知，当直线过点时，有最大值，且最大值为.
故答案为：.
15、
【解析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.
【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，
由得，实轴长
故答案为：
16、
【解析】利用分层抽样可求得的值，再利用分层抽样可求得高二被抽取的人数.
【详解】高一年级抽取的人数为：人，则，
则高二被抽取的人数，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】（1）选①，利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；
选②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围，即可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
解：选①，，由余弦定理可得，
，所以，.
选②，，整理可得，，解得，
由余弦定理可得，
，所以，.
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得.
18、（1）条件选择见解析；an＝2n，bn＝25﹣n.
（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）把点（n，bn）代入曲线y＝可得到bn＝25﹣n，进而求出a1，设等差数列{an}的公差为d，
选①S4＝20，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选②S3＝2a3，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选③3a3﹣a5＝b2，利用等差数列的通项公式公式可求出d，从而得到an；
（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣，不等式无解，即不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
【小问1详解】
解：∵点（n，bn）在曲线y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
若选①S4＝20，则S4＝＝20，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选②S3＝2a3，则S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，
∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选③3a3﹣a5＝b2，则3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，
∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
【小问2详解】
解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），
∴＝＝，
∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，
假设存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞，
∴，即，此不等式无解，
∴不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
19、（1），（2）答案见解析
【解析】（1）由题意可直接得到等比数列的通项公式；求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；
（2）若选①，则可确定由数列前33项的和减去，即可得答案；若选②，则可确定由数列前27项的和加上，即可得答案.
【小问1详解】
因为数列为等比数列，且，
所以.
又因，所以，
又，则，
故等差数列的通项公式为.
【小问2详解】
因为，，
所以，
而
若选①
因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，
则数列前30项和为：=1632.
若选②
因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.，
则数列前30项和为：=1203.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，则，所以，，
因为平面，所以，平面，
，所以，直线到平面的距离为.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知计算可得即可得出方程.
（2）由已知可得联立方程，结合韦达定理计算即可得出结果.
【小问1详解】

依题得解得：
椭圆的方程为.
【小问2详解】
由已知动直线与椭圆相交于、，设
联立得：

解得：，即：或
（*）
坐标原点总在以为直径的圆外

则：,
即将（*）代入此式，
解得：，即
或
或
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及骰子向上的点数相等的基本事件数，应用古典概型的概率求法，求概率即可.
（2）列举出两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数的基本事件，应用古典概型的概率求法，求概率即可.
【小问1详解】
同时掷两颗骰子包括的基本事件共种，掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种，
故所求的概率为；
【小问2详解】
两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数时，用坐标记为，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16个基本事件，
故两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的倍数有的概率为.