2026届广东省汕头市潮阳区数学高二上期末考试试题含解析.doc

2026届广东省汕头市潮阳区数学高二上期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数极小值为（）
A. B.
C. D.
2．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（ ）

A.样本中对平台一满意的消费者人数约700
B.总体中对平台二满意的消费者人数为18
C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60
D.若样本中对平台三满意消费者人数为120，则
3．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）
A. B.
C.或 D.或
4．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）
A.5 B.3
C.9 D.25
5．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于
A. B.
C. D.
6．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）
A.2 B.5
C.1 D.0
7．若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）
A. B.
C. D.
9．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（）
A. B.
C. D.
10．方程化简的结果是（）
A. B.
C. D.
11．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）
A. B.
C.4 D.
12．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______.
14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____
15．函数在处的切线与平行，则________.
16．已知直线与平行，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.
（1）求圆D的标准方程；
（2）若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，

（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值
19．（12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且

（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值
22．（10分）已知椭圆与直线相切，点G为椭圆上任意一点，，，且的最大值为3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同两点E，F，点O为坐标原点，且，当的面积取最大值时，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数求导得，令，可得或，
列表如下：

减
极小值
增
极大值
减
所以，函数的极小值为.
故选：A.
2、C
【解析】根据扇形图和频率分布直方图判断.
【详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误；
对于B：总体中对平台二满意的人数约为，故选项B错误；
对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确：
对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误
故选：C
3、C
【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，
当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，
故选：C.
4、A
【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.
【详解】∵椭圆的一个焦点是，
∴，
∴，
故选：A
5、D
【解析】不妨设双曲线方程为 ，
则 ，即 设焦点为 ，渐近线方程为
则 又
解得 ．则焦距为．选：D
6、C
【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，
由，可得，则切线的斜率为，
由，可得，则切线斜率为，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以，解得或（舍去），
又由，即公共点的坐标为，
将点代入，可得.
故选：C.
7、B
【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
故选：B.
8、B
【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.
【详解】由知，
，
，
，即，
故选：B
9、A
【解析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程
【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则
，得，
所以，
所以曲线C的方程为，
设，则
，
两方程相减整理得，
因为AB中点坐标为M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
10、D
【解析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】∵方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；
∴；
∴椭圆的方程是，即为化简的结果
故选：D
11、A
【解析】由，可得，再计算即可求解.
【详解】由题意可知，所以，即.
故选：A
12、B
【解析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，设直线为，、，即可得到的坐标，再联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，表示出、的坐标，根据得到方程，求出，即可得解；
【详解】解：抛物线方程为，则焦点，准线为，
设直线为，、，则，由，消去得，所以，，则，，因为，所以，所以，所以，解得，所以，即直线为，所以直线的斜率为；
故答案为：
14、
【解析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.
【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，
由得，实轴长
故答案为：
15、2
【解析】由得出的值.
【详解】
因为函数在处的切线与平行
所以，故
故答案为：2
16、
【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
又因为时，，，
所以直线，重合故舍去，
而,,，所以两直线平行.
所以，
故答案为：3.
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设圆D的标准方程，利用待定系数法即可得出答案；
（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
解：设圆D的标准方程，
由题意可得，解得，
所以圆D标准方程为；
【小问2详解】
解：由（1）可知圆心，半径，
所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，
所以.
18、（1）见解析（2）
【解析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可
小问1详解】
证明：如图，连接，
在中，由，可得，
因为，，
所以，，
因为，，，
则，
故，
因为，，，平面，
则平面；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，
则，，，
又，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，，
故，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为

19、（1）
（2）
【解析】（1）以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）求出和的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

由，，，，所以，，，
因此，，，
设平面的法向量，则，，所以
，取，则，，于是，
所以点到平面的距离
【小问2详解】
由，，设平面的法向量，则
，，所以
，取，则，，于是，
由（1）知平面的法向量为，
记二面角的平面角为，则，
由图可知二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；
（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.
【小问1详解】
解：∵的周长为8，
∴，即，
∵离心率，
∴，，
∴椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
方法一：设，
则直线斜率，∵，
∴直线斜率，
∴直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立上面两直线方程，消去y，得，
∵在椭圆上，
∴，即，
∴，
∴
所以与的面积之比为定值4
方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，
则直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，
将代入，得，
∵P是椭圆上异于点，的点，
∴，
又∵，即，
∴，即，
由，得直线的方程为，
联立得，
∴
所以与的面积之比为定值4
22、（1）
（2）
【解析】（1）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；
（2）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，记，则，得到，根据对勾函数求出最值.
【小问1详解】
设点，由题意知，
所以：，则，
当时，取得最大值，即，
故椭圆C的标准方程是
【小问2详解】
设，，，则由得
(，
，点O到直线l的距离，

对用均值不等式，则：
当且仅当即，①
，S取得最大值．此时，，
，即，代入①式整理得，
即点M的轨迹为椭圆
且点，为椭圆的左、右焦点，即
记，则于是：
，

由对勾函数的性质：当时，，
且，
故的取值范围为