2026届海南省澄迈县澄迈中学数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2026届海南省澄迈县澄迈中学数学高二第一学期期末考试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为
A.2 B.1
C. D.4
3．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A. B.
C. D.
4．已知，，，则最小值是（）
A.10 B.9
C.8 D.7
5．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A.3 B.1
C.0 D.﹣1
9．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）
A.5.25 B.10.5
C.5.5 D.11
10．函数在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
11．抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
12．过点且垂直于直线的直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______
14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，则p＝__
15．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.
16．设函数为奇函数，当时，，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，

（1）点B到平面APQ的距离：
（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值
18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程
19．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值
21．（12分）如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点

（1）求证：CE//平面PAB；
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由
22．（10分）已知为数列的前项和，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.
【详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A
2、D
【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果
【详解】因为直线交抛物线于不同的两点，
所以直线的斜率存在，
设过抛物线的焦点的直线方程为，
由可得，，
因为抛物线的准线方程为，
所以根据抛物线的定义可知，，
所以，综上所述，故选D
【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题
3、A
【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则

所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
4、B
【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值
【详解】∵，，，∴＝，
当且仅当，即时等号成立
故选：B
5、A
【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，其中，
根据题意有，，
所以，，
所以椭圆的离心率
故选：A
6、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
7、D
【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
8、C
【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解
【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值

故选：C

9、B
【解析】利用平均变化率的公式即得.
【详解】∵，
∴.
故选：B.
10、A
【解析】根据导数与单调性的关系即可求出
【详解】依题可知，在上恒成立，
即在上恒成立，所以
故选：A
11、A
【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；
【详解】抛物线的方程化成标准形式，
准线方程为，
故选：A.
12、A
【解析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出，求出导函数及，进而求出切线方程.
【详解】∵，∴，又，
∴在处的切线方程为，即
故答案为：
14、2
【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解
【详解】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，
∴由抛物线的定义可得，，解得p＝2
故答案为：2
15、
【解析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.
【详解】可设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：.
16、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.
【小问1详解】
点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.

正四棱锥中，
平面，平面，，

，
设点B到平面APQ的距离为d，
则，即
解之得，即点B到平面APQ的距离为
【小问2详解】
取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.

平面平面
正四棱锥中，
，直线平面
平面，平面平面，平面平面
平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△中，，

设点E到平面的距离为d，则有，则
则有，
整理得，
解之得或
18、（1）
（2）或
【解析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.
（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.
小问1详解】
点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.
当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.
【小问1详解】
椭圆的离心率，又，∴
∵椭圆C：经过点，解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，
由消去y，得
∵点在椭圆C上，则有，即
同理可得
∴，又
∴直线MN的斜率为
【点睛】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.
21、（1）证明见解析；
（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论；
（2）取中点N，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性
【小问1详解】
如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点，
所以且，
又BC//平面PAD，面，且面面，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，故，
而面，面，则面.
小问2详解】
取中点N，连接，，
∵E，N分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
线段存在点N，使得平面，理由如下：
由（1）知：平面，又，
∴平面平面，又M是上的动点，平面，
∴平面PAB，
∴线段存在点N，使得MN∥平面
22、（1）
（2）
【解析】（1）由与的关系结合等比数列的定义得出的通项公式；
（2）由（1）得出，再由错位相减法得出的前项和.
【小问1详解】
因为，所以当时，，所以.
当时，，
两式相减，得，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
【小问2详解】
由（1）得，所以，
两边同乘以，得，
两式相减，得，
所以.