安徽省淮北、宿州市2025年高二上数学期末考试试题含解析.doc

安徽省淮北、宿州市2025年高二上数学期末考试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）

A. B.
C. D.
2．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（ ）
A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件
C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为
3．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
4．设数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
5．等差数列中，已知，则（）
A.36 B.27
C.18 D.9
6．已知命题，，则p的否定是（）
A. B.
C. D.
7．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
8．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（　　）
A. B.
C. D.
9．设集合 ，则 A B =（ ）
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
10．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
11．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）
A. B.
C.1 D.
12．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列是首项为的递增数列，若，，则满足条件的数列的一个通项公式为______
14．设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___
15．已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________
16．抛物线的焦点坐标为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，E的离心率为.短轴长为2.
（1）求椭圆E的方程：
（2）过点的直线l交椭圆E于A，B两点，是否存在实数t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
18．（12分）在数列中，，且，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和的最大值
19．（12分）已知直线：和：
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值
20．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.
21．（12分）已知函数 ，且 a > 0
（1）当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；
（2）记函数 ，若函数有两个零点，
①求实数 a 的取值范围；
②证明：
22．（10分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
2、D
【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；
故选：D
3、B
【解析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程
【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，

设，，因为，所以，
因为，所以，则，
因为点是的右支上一点，所以，
所以，则，
因为，所以，，
由勾股定理可得：，即，
解得，则，
所以双曲线的方程为：
故选：B
4、C
【解析】利用，把代入中，即可求出答案.
【详解】当时，.
当时，.
故选：C.
5、B
【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.
【详解】解：由题得.
故选：B
6、A
【解析】直接根据全称命题的否定写出结论.
【详解】命题，为全称命题，故p的否定是：.
故选：A
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题
7、C
【解析】对于A, 可能在内，故可判断A；对于B, 可能相交，故可判断B;
对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C; 对于D, 和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.
【详解】对于A, 除了外，还有可能在内，故可判断A错误；
对于B, ，那么可能相交，故可判断B错误；
对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于 ，所以，故判定C正确;
对于D，，，则 和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，
故选：C.
8、D
【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.
【详解】由题意可知，即，
因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.
故选：D
9、B
【解析】按交集定义求解即可.
【详解】
A B={2，3}
故选：B
10、A
【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则，，，，
故,,
，
故两异面直线，所成角的余弦值是.
故选：A.
【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.
11、B
【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离
【详解】解：抛物线的焦点准线方程，
设，，，

解得，
线段的中点纵坐标为，
线段的中点到轴的距离为，
故选：B
【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题
12、C
【解析】建立合适的空间直角坐标系，求出和平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即为与的夹角的余弦值的绝对值，利用夹角公式求出即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.

有图知，
由题得、、、.
，，.
设平面的一个法向量，
则，，
令，得，，
.
设直线与平面所成的角为，则.
故选：C.
【点睛】本题考查线面角的求解，利用向量法可简化分析过程，直接用计算的方式解决问题，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、，答案不唯一
【解析】由，，可得，进而解得，然后写出通项公式即可.
【详解】设数列的公差为d，由题可得，
因为，，所以有，解得，
只要公差d满足即可，然后根据等差数列的通项公式写出即可，
我们可以取，此时.
故答案为：，答案不唯一.
14、4
【解析】取点，可得，从而，，从而可求解
【详解】解：由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号
故答案为：

15、
【解析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.
【详解】当时，有
当时，由 ①
有 ②
由①－②得：
所以，当时也成立.
所以,故
则
由，即，所以
所以，由
所以
故答案为：
【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.
16、
【解析】利用焦点坐标为求解即可
【详解】因为，所以，所以焦点的坐标为，
故答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）存在，
【解析】(1)由条件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得椭圆E的方程：(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程化简可得
，设，，可得，，由此证明，再证明当直线的斜率不存在时也成立，由此确定存在实数t，使得恒成立
【小问1详解】
由已知得，
离心率，所以，故椭圆E的方程为.
【小问2详解】
当直线l的斜率存在时，设，，，
联立方程组得，，
所以，.

.
，
，
所以
.所以.
当直线l的斜率不存在时，，
联立方程组，得，.
，，所以.
综上，存在实数使得恒成立.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
18、（1）
（2）40
【解析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式；
（2）令，求得，进而根据数列的前项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值.
【小问1详解】
解：∵数列满足，∴，∴是等差数列，
设的公差为d，则，即，解得，
∴，∴
【小问2详解】
令，得，解得，
所以当或5时，有最大值，且最大值为
19、（1）2（2）或
【解析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.
（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.
【小问1详解】
由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，
因为，
所以，
解得或2，
①当时，由此时直线，重合，
②当时，，此时直线，平行，
综上：若，则实数m的值为2
【小问2详解】
①当时，直线斜率为0，此时若必有，不可能.
②当时，若必有，解得，
由上知若，则实数m的值为或
20、（1）
（2）不一定共线，理由见解析
【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；
（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.
【小问1详解】
由题意得，，
设，，
代入椭圆C的方程得，
，可得.
可得.
由，，所以∽△BOA，
所以，即，可得.
又，，得.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当轴时，，设，，
则
由已知条件和方程，可得，
整理得，，
解得或.
由于，所以当时，点M，，N共线；
所以当时，点M，，N不共线.
所以点M，，N不一定共线.
21、（1）函数 f (x ) 在区间 (0，+¥ ) 上单调递减
（2）① ；②证明见解析
【解析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；
（2）①分析函数的单调性，由有两个实数根可求解；
②由（1）得2ln x> x−，再利用其放缩可得，由此有，问题得证.
【小问1详解】
当a =1 时，函数
因为
所以函数 f (x ) 在区间 (0，+¥ ) 上单调递减；
【小问2详解】
（i）由已知可得方程 有两个实数根
记 ，则 ．当 时， ，函数 k (x ) 是增函数；
当时，，函数 k (x ) 是减函数，
所以 ，故
（ii）易知，当 x >1 时，，故 ．由（1）可知，当 0<x<1时，
，所以 2ln x> x−
由 ，得 ，所以
因为 ，所以
22、（1）；（2）.
【解析】（1）先利用数量积和余弦值得到，再利用面积公式计算即得结果；
（2）根据等差数列得到，再结合余弦定理进行运算得到关于b的关系，求值即可.
【详解】（1）由得，所以，
所以，所以，
所以；
（2）因为a、b、c成等差数列，所以，
由余弦定理得，
即，解得.