辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析.doc

辽宁省葫芦岛市兴城高级中学2026届高二数学第一学期期末监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为
A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
4．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：
满意程度
学生族
上班族
退休族
满意

一般

不满意

记满分为分，一般为分，不满意为分.设命题：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取人，则退休族应抽取人；命题：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.
则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
6．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
7．函数单调减区间是（）
A. B.
C.和 D.
8．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
9．两个圆和的位置是关系是（）
A.相离 B.外切
C.相交 D.内含
10．设，为双曲线的上，下两个焦点，过的直线l交该双曲线的下支于A，B两点，且满足，，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）

A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
12．若，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.
14．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_________
15．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______
16．甲、乙两名学生通过某次听力测试的概率分别为和，且是否通过听力测试相互独立，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.
（1）求A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
18．（12分）若等比数列的各项为正，前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
20．（12分）已知，是函数的两个极值点.
（1）求的解析式；
（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.
21．（12分）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及前项的和.
22．（10分）已知数列满足，数列为等差数列，，前4项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求和：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.
【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直
则由，不能得出，故选项A不正确.
选项B. ,则正确，故选项B正确.
选项C若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.
选项D.若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.
故选：B
2、B
【解析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.
【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，
则，，
所以为异面直线与所成的角，
在三角形中，，，所以.
故选：B.

【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
3、A
【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集
【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，
所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，
又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选A

【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题
4、B
【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.
【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.
②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.
③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.
④，若为空间的一个基底，即不共面，
若共面，则存在不全为零的，
使得，
故，
因为为空间的一个基底，，
故，矛盾，故不共面，
所以构成空间的另一基底，④正确.
所以正确的判断是个.
故选：B
5、A
【解析】由抽样比再乘以可得退休族应抽取人数可判断命题，求出上班族对数字媒体内容满意程度的平均分，由方差公式计算方差可判断，再由复合命题的真假判断四个选项，即可得正确选项.
【详解】因为退休族应抽取人，所以命题正确；
样本中上班族对数字媒体内容满意程度的平均分为，
方差为，命题正确，
所以为真，、、为假命题，
故选：
6、C
【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，
设，则，，
又，解得，
又由，，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
7、B
【解析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
8、D
【解析】根据题意的到，，代入到双曲线方程，解得，即，则，即，即，求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，
∴，且，∴，
将代入到双曲线方程，可得，解得，即，
则，即，即，解得（舍负），
故.
故选:D.
9、C
【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.
【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，
故选：C.
【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.
10、A
【解析】设，表示出，由勾股定理列式计算得，然后在，再由勾股定理列式，计算离心率.
【详解】由题意得，，且，如图所示，

设，由双曲线的定义可得，，因为，所以，得，所以，在中，，即.
故选：A
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)
11、B
【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.
【详解】，故①正确；
根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.
故选：B.
12、C
【解析】由二项分布的方差公式即可求解.
【详解】解：因为，所以.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、16
【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.
【详解】由椭圆定义知：，
所以△的周长为.
故答案为：16.
14、3
【解析】根据抛物线焦半径公式，
所以.
故答案为：3.
15、
【解析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.
【详解】由，，令，
其中m为正整数，有，又为正整数，所以
当时，解得，当时，解得不是正整数，
故答案为：
16、##0.5
【解析】分两种情况，结合相互独立事件公式即可求解.
【详解】记甲，乙通过听力测试的分别为事件，则可得，两人有且仅有一人通过为事件，故所求事件概率为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；
（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.
【小问1详解】
因为B，A，C成等差数列，所以，所以.
【小问2详解】
因为，，由余弦定理可得：；
又的面积为，所以，所以，
所以,
所以周长为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设公比为，则由已知可得，求出公比，再求出首项，从而可求出数列的通项公式；
（2）由已知可得，而，所以，然后利用错位相减法可求得结果
【小问1详解】
设各项为正的等比数列的公比为，，，
则，，，
即，
解得或（舍去），
所以，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
由（1）知，所以.
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得，

所以数列的前项和.
19、（1）（2）详见解析
【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；
（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.
【详解】（1），，，
，又，
在处的切线方程为.
（2），
令，解得：，.
①当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
②当时，在上恒成立，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；
（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围
【详解】解：（1）因为，所以
根据极值点定义，方程的两个根即为，，
，代入，，可得
，解之可得，，
故有；
（2）根据题意，，，，
根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，
即函数与直线在区间，内有三个交点，
又因为，
则令，解得；令，解得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增；
又因为，，，，
函数图象如下所示：

若使函数与直线有三个交点，
则需使，即
21、（1）证明见解析；
（2），.
【解析】（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.
【小问1详解】
证明：因为数列满足，，则，
且，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，故数列为等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，
因此，
.
22、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列，的通项公式；
（2）根据（1）中所求，构造数列，证明其为等比数列，利用等比数列的前项和即可求得结果.
【小问1详解】
因为数列满足，
故可得数列为等比数列，且公比，则；
数列为等差数列，，前4项和，设其公差为，
故可得，解得，则；
综上所述，，.
【小问2详解】
由（1）可知：，，故，
又，又，则是首项1，公比为的等比数列；
则.