2025-2026学年河南省洛阳市孟津县第二高级中学数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年河南省洛阳市孟津县第二高级中学数学高二上期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列数列是递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
2．直线与圆相切，则实数等于（ ）
A.或 B.或
C.3或5 D.5或3
3．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　）
A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0
C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝0
4．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）

A.153 B.190
C.231 D.276
5．若是函数的极值点，则函数（）
A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值
C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值
6．若，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）

A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大
C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大
8．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）

A.（1）（2） B.（1）（3）
C.（2） D.（2）（3）
9．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）

A. B.
C. D.
11．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（）
A. B.2
C. D.4
12．在下列函数中，最小值为2的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线的焦点到准线的距离是______.
14．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.

15．若直线与直线相互平行，则实数___________.
16．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）令求数列的前n项和；
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1
（1）求椭圆C方程；
（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA+（2c+a）cosB=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，△ABC的面积为 ， 求a+c的值
20．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为4，求的周长
21．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为
（1）解出这六个根；
（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积
22．（10分）已知圆.
（1）若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程；
（2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.
【详解】解：对于A，，则，
所以数列为递减数列，故A不符合题意；
对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；
对于C，，则，
所以数列为递增数列，故C符合题意；
对于D，，则，
所以数列递减数列，故D不符合题意.
故选：C.
2、C
【解析】先求出圆的圆心和半径，再利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得结果
【详解】由，得，则圆心为，半径为2，
因为直线与圆相切，
所以，得，解得或，
故选：C
3、C
【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.
【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0
则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0
故选：C
4、C
【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：C
5、A
【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.
【详解】由题设，且，
∴，可得.
∴且，
当时，递减；当时，递增；
∴有极小值，无极大值.
综上，有最小值，无最大值.
故选：A
6、C
【解析】由二项分布的方差公式即可求解.
【详解】解：因为，所以.
故选：C.
7、C
【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则
，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.
【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，
，
对于A，B选项，令d =0，则
，
显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；
对于C，D，

对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作，垂足为，
当在下方时，，
设，则对于给定的，为定值，
此时设二面角为，二面角为，
则二面角为，且，
故，
而，故即，
当时，为减函数，故为增函数，
当时，为增函数，故为减函数，
故先增后减，故D错误.
当在上方时，，
则对于给定的，为定值，则有二面角为，
且，
因，故为增函数，故为减函数，
综上，对于给定的，随的增大而减少，

故选：C.
8、D
【解析】根据图形可得（1）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.
【详解】对（1），所有的点都在曲线上，故具有函数关系；
对（2），所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；
对（3），所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；
对（4），所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.
故选：D.
9、A
【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
10、C
【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；
【详解】
故选：C
11、A
【解析】求出椭圆的通径，即可得到结果
【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：
故选：A
12、C
【解析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，时，为负数，A错误.
对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.
对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.
对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
14、##30°
【解析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.
【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.
设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则

于是，,.
在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.
故答案为：.
15、##
【解析】由题意可得，从而可求出的值
【详解】因为直线与直线相互平行，
所以，解得，
故答案为：
16、2
【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.
【详解】因为，则其方向向量，
，解得.
故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；
（2）分组求和即可.
【小问1详解】
设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
【小问2详解】
，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.
18、（1）
（2）0
【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；
（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，
所以，所以①
又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
所以②，由①②可知，所以，
，所以椭圆C的方程为
【小问2详解】
因为点P在直线上，所以设点，
由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在
所以直线AB的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，，
整理可得，
且所以，，
又因为，
，
所以

，
同理可得，
又因为，所以，
又因为，，，都是长度，所以，
所以，整理可得，
又因为，所以，
所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为0

19、（1）（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果
（2）利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可
【详解】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），
所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB
所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB
∴cosB=﹣
∴B=
（2）由=得ac=4
由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16
∴a+c=2
【点睛】本题主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面积公式解三角形问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到
20、（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解
（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，∴.
（2）∵的面积为，∴.
由余弦定理得，∴.
故的周长为.
【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题
21、（1）
（2）
【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；
（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可
【小问1详解】
由题意，

当时，设
故，
所以
解得：，即
当时，设
故
所以
解得：，即
故：
【小问2详解】
六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，
其中
在复平面中描出这六个点如图所示：

六个点构成的图形为正六边形，边长为1
故
22、（1）（或
（2）或
【解析】(1)由条件可得，由此可求直线的斜率，由点斜式求直线的方程；(2)由条件可求到直线的距离，利用待定系数法求直线的方程.
【小问1详解】
圆，得圆心，半径，
直线的斜率：，
设直线的斜率为，有，解得.
所求直线的方程为：.（或
【小问2详解】
直线m被圆C截得的弦EF为直径的圆经过圆心C，
∴
圆心C到直线的距离为.
设直线方䄇为，则

解得或
直线的方程为：或