2025-2026学年广西南宁市三十三中学数学高二第一学期期末预测试题含解析.doc

2025-2026学年广西南宁市三十三中学数学高二第一学期期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
3．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）
A B.
C. D.
4．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）
A.圆 B.两个圆
C.椭圆 D.两个椭圆
6．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）
A. B.
C. D.
7．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
8．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）
A.108里 B.96里
C.64里 D.48里
10．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）
A. B.
C. D.
12．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400万元
C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.7月份的利润最大
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______
14．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______
15．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

16．双曲线的实轴长为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，其中表示不超过最大整数，如，.
（i）求、、；
（ii）求数列的前项的和.
18．（12分）设p：；q：关于x的方程无实根.
（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若是假命题，且是真命题，求实数k的取值范围.
19．（12分）已知直线，直线经过点且与直线平行，设直线分別与x轴，y轴交于A，B两点.
（1）求点A和B的坐标；
（2）若圆C经过点A和B，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
20．（12分）已知命题p：，命题q：.
（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且.

（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值.
22．（10分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，

（1）点B到平面APQ的距离：
（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.
【详解】，
，
所以“”是“”的充要条件.
故选：B
2、B
【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.
【详解】令公差为，则，解得，
所以，
当时，取最大值.
故选：B
3、A
【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.
【详解】因为圆心到直线的距离，
故要满足题意，只需，解得.
故选：A.
4、D
【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
5、A
【解析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆
【详解】是焦点为、的椭圆上一点
为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，如图，

，
，
，
由题意知是△的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆
故选：A
6、C
【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，
设点、、，
联立可得，，，
所以，，
，，
直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，，
因为，则，因为，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
7、C
【解析】依题意有，解得，所以.
考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算
8、A
【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求
【详解】，
即，

则
．即
，
则该双曲线的方程是：
故选：A
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.
9、B
【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可
【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.
【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.
10、A
【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.
【详解】设利润为y万元，则，
∴.
令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.
故选：A
【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值
(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到
11、A
【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.
【详解】解：依题意，即，
所以，
所以，由于，
所以
故选：A
12、B
【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.
【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；
B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，
所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；
C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；
D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4##
【解析】根据正态分布曲线的对称性求解
【详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.
故答案为：0.4
14、2
【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.
【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，

由抛物线定义知：，又且，
所以，故，
又，故.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.
15、
【解析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.
【详解】
如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为:.
16、4
【解析】根据双曲线标准方程的特征即可求解.
【详解】由题可知.
故答案为：4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）（i），，；（ii）.
【解析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；
（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.
【小问1详解】
解：因为，，则，可得，
，可得，以此类推可知，对任意的，.
由，变形为，
是一个以为公差的等差数列，且首项为，
所以，，因此，.
【小问2详解】
解：（i），则，
，则，故，
，则，故；
（ii），当时，即当时，，
当时，即当时，，
当时，即当时，，
因此，数列的前项的和为.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据命题的真假，结合一元二次方程无实根，列出的不等式，即可求得结果；
（2）求得命题为真对应的的范围，结合命题一个为真命题一个为假命题，即可列出的不等式组，求解即可.
【小问1详解】
若q为真命题，则，
解得，即实数k的取值范围为.
【小问2详解】
若p为真，，解得，
由是假命题，且是真命题，
得：p、q两命题一真一假，
当p真q假时，或，得，
当p假q真时，，此时无解.
综上的取值范围为.
19、（1），；
（2）.
【解析】（1）由直线平行及所过的点，应用点斜式写出直线方程，进而求A、B坐标.
（2）由（1）求出垂直平分线方程，并联立直线求圆心坐标，即可求圆的半径，进而写出圆C的方程.
【小问1详解】
由题设，的斜率为，又直线与直线平行且过，
所以直线为，即，
令，则；令，则.
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得：垂直平分线为，即，
联立，可得，即，故圆的半径为，
所以圆C的方程为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；
（2）由p是q的充分条件，转化为集合的包含关系，从而可求实数m的取值范围.
【详解】（1）由p：为真，解得.
（2）q：，若p是q的充分条件，则是的子集
所以.即.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件推导证得，再借助直角三角形中锐角的正切列式求解作答.
(2)由给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量求解面面角作答
【小问1详解】
连结BD，如图，因底面ABCD，且平面ABCD，则，

又，，平面PBD，于是得平面PBD，
又平面PBD，则，有，又，
则有，有，则，解得，
所以.
【小问2详解】
依题意，DA，DC，DP两两垂直，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由(1)知，，，，，，，，
设平面AMP的法向量为，则，令，得，
设平面BMP的法向量为，则，令，得，
设二面角A-PM-B的平面角为，则，
因此，，
所以二面角A-PM-B的正弦值为.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.
【小问1详解】
点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.

正四棱锥中，
平面，平面，，

，
设点B到平面APQ的距离为d，
则，即
解之得，即点B到平面APQ的距离为
【小问2详解】
取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.

平面平面
正四棱锥中，
，直线平面
平面，平面平面，平面平面
平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△中，，

设点E到平面的距离为d，则有，则
则有，
整理得，
解之得或