2025-2026学年张家口市重点中学高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年张家口市重点中学高二上数学期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（）
A. B.
C. D.
2．中，，，分别为三个内角，，的对边，若，，，则（）
A. B.
C. D.
3．圆上到直线的距离为的点共有
A.个 B.个
C.个 D.个
4．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是()
A. B.
C. D.
5．曲线与曲线的（）
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
6．函数，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
7．曲线在点处的切线过点，则实数（）
A. B.0
C.1 D.2
8．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
9．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）
A.16 B.8
C.2 D.1
10．圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）
A. B.
C. D.
11．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线相互平行，则实数___________.
14．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则___________.
15．已知满足约束条件，则的最小值为___________
16．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.
（1）求圆C的标准方程.
（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
18．（12分）已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围
19．（12分）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且.
（1）求的通项公式及的值；
（2）设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和.
20．（12分）已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切
（1）求圆C的标方程；
（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程
21．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.
【详解】
故选：B.
2、C
【解析】利用正弦定理求解即可.
【详解】，，，
由正弦定理可得，
解得，
故选：C.
3、C
【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆可变为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为的点共有个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
4、C
【解析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可
【详解】对于A，，则，令，解得或，即有解，故选项A的函数有“巧值点”，不符合题意；
对于B，，则，令，令，则g(x)在x＞0时为增函数，∵(1)，(e)，由零点的存在性定理可得，在上存在唯一零点，即方程有解，故选项B的函数有“巧值点”，不符合题意；
对于C，，则，令，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意；
对于D，，则，
令，
则.
∴方程有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意
故选：C
5、D
【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.
【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，
离心率为 ,焦距为8,
曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，
短轴长为，离心率为 ,焦距为 ,
故选：D
6、A
【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.
【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，
因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，
又因为，所以的解集为.
故选：A
7、A
【解析】由导数的几何意义得切线方程为，进而得.
【详解】解：因为，，，
所以，切线方程为，
因为切线过点，所以，解得
故选：A
8、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

9、C
【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.
【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，
所以，因此该双曲线的虚轴长为，
故选：C
10、A
【解析】由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆半径，即可写出圆的标准方程.
【详解】圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离
弦长，设圆半径为r，
则故r=2
则圆的标准方程为
故选：A
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的标准方程，属于基础题.
11、B
【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；
必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，
所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
12、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】由题意可得，从而可求出的值
【详解】因为直线与直线相互平行，
所以，解得，
故答案为：
14、2
【解析】由，可两平面的法向量也平行，从而可求出，进而可求得答案
【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，，
所以∥，
所以存实数使，
所以，所以，解得，
所以，
故答案为：2
15、
【解析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可.
【详解】解：作出可行域如图，将变形为，
所以根据几何意义，当直线过点时，有最小值，
所以联立方程得，
所以的最小值为
故答案为：

16、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.
（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为
由题意可得解得，，.
故圆C的标准方程为.
【小问2详解】
设，.联立
整理的
，则，，
故.
因为以AB为直径的圆过原点，所以，
即
则，
化简得.
当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.
所以，则，则直线过定点.
18、（1）当时，或；当时，；当时，或
（2）
【解析】（1）由题意得对的值进行分类讨论可得不等式的解集；
（2）将条件转化为，，再利用基本不等式求最值可得的取值范围；
【小问1详解】
，即，
所以，
所以，
①当时不等式的解为或，
②当时不等式的解为，
③当时不等式的解为或，
综上：原不等式的解集为
当时或，
当时，
当时或
【小问2详解】
不等式在上有解，
即在上有解，
所以在上有解，
所以，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.
19、（1），
（2）证明见解析，
【解析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值，进一步求出数列的通项公式和的值；
(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，进一步求出数列的和.
【小问1详解】
等差数列的前三项依次为，4，，
∴，解得；
故首项为2，公差为2，
故，
前项和为，且，整理得，
解得或－11(负值舍去).
∴，k＝10.
【小问2详解】
由(1)得：，
故(常数)，故数列是等比数列；
∴.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；
（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出
【小问1详解】
设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，
∴圆C的标准方程为
【小问2详解】
由可得圆心C到直线的距离
∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；
当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即
综上，的方程为或
21、（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；
（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.
【小问1详解】
证明：连接BD，设BD与AC交于点O，
连接PO．因为，所以

四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则
又，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以
【小问2详解】
因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，
以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，
所以，，，
设平面AEC的法向量，则，
即，令，则
平面ACD的法向量，，
所以二面角为；
【小问3详解】
存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：
由（2）得，，
设，则，
所以点F到平面AEC的距离，
解得，，所以
22、（1）极大值；极小值
（2）
【解析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值.
（2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
令，可得或2
所以在区间递增；
在区间递减.
故当时．函数有极大值，
故当时，函数有极小值；
【小问2详解】
由，有，
可化为，
令，有，
令，有，
令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，
有，
可知，有函数为减函数，
有，
故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为
【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.