重庆实验外国语学校高2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

重庆实验外国语学校高2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.3
C.2 D.
2．随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表：
订餐数/份
12
23
31
送餐里程/里
15
30
45
现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）
A.155里 B.145里
C.147里 D.148里
3．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（ ）

A. B.
C. D.
6．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7．若圆与圆外切，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知向量，．若，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，在平行六面体中，（）

A. B.
C. D.
11．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）
A. B.
C.4 D.5
12．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的（）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，且，则的最小值为____________
14．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________

15．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.
16．若数列的前n项和，则其通项公式________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大
19．（12分）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
20．（12分）（1）已知等轴双曲线的上顶点到一条渐近线的距离为，求此双曲线的方程；
（2）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求线段的长
21．（12分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：
（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；
（2）目标被击中的概率
22．（10分）如图，底面是矩形的直棱柱中，；

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值
【详解】由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质可以得到，
而，
结合四边形对角线平分，
可得四边形为平行四边形，
结合，故，
对三角形，用余弦定理，得到，
结合，可得，
，，代入上式子中，
得到，即，
结合离心率满足，即可得出，

故选：D
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
2、C
【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得，即可得回归方程，进而估计时的y值即可.
【详解】由题意：，，则，可得，故，
当时，.
故选：C
3、B
【解析】首先求出两平行直线间的距离，即可求出圆的半径，设圆心坐标为，，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解；
【详解】解：因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；
故选：B
4、B
【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B
5、C
【解析】连接，，，，在平面中，作，为垂足，将两平行线的距离转化成点到直线的距离，结合余弦定理即同角三角函数基本关系，求得，因此可得，进而可得直线到直线的距离；
【详解】解：如图，

连接，，，，在平面中，作，为垂足，
因为，分别为，的中点，
因为，，
所以，所以，同理，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以即为直线到直线的距离，
在三角形中，由余弦定理得
因为，所以是锐角，
所以，
在直角三角形中，，
故直线到直线的距离为；
故选：C
6、B
【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、C
【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆
可得，，
因为两圆相外切，可得，解得
故选：C.
8、A
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.
【详解】向量，，因，则，解得，
所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.
故选：A
9、C
【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.
【详解】解：抛物线的准线为
因为在抛物线的准线上

故其焦点为
故选：
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.
10、B
【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量
【详解】
连接，可得，又，
所以
故选：B.
11、C
【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.
【详解】
，所以在抛物线的内部，
过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，
，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
12、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：设为不到长城，推出非好汉，即，
则，即好汉到长城，
故“好汉”是“到长城”的充分条件，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、16
【解析】根据，且，利用“1”的代换将，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，，即时，取等号.
所以的最小值为16.
故答案为：16
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14、
【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.
【详解】在中，，
，，
，
，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.
故答案为：.
【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.
15、3
【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.
【详解】由题可得抛物线的准线为，
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

∴要求取得最小值，即求取得最小，
当三点共线时最小，为.
故答案为：3.
16、
【解析】由和计算
【详解】由题意，
时，，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，.
因为，由，可得.
①当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
解：当且时，由，可得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，.
18、（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）见解析
【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.
（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，
（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
【小问2详解】
因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
20、（1）；（2）8.
【解析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，再由点到直线距离公式求解即可；
（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.
【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，
可得，
解得，故双曲线方程
（2）抛物线的焦点为
直线的方程为，即
与抛物线方程联立，得，
消，整理得，设其两根为，，且
由抛物线的定义可知，
所以，线段的长是
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；
（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.
【小问1详解】
设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.
【小问2详解】
目标被击中的概率为.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过证明和可得答案；
（2）连接，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中计算即可.
【小问1详解】
棱柱为直棱柱，
面，又面
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
【小问2详解】
连接，
面，
则为直线与平面所成角的平面角

在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.