北京市对外经贸大学附属中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

北京市对外经贸大学附属中学2026届高二数学第一学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）

A. B.
C. D.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
4．在正方体中，与直线和都垂直，则直线与的关系是（ ）

A.异面 B.平行
C.垂直不相交 D.垂直且相交
5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A. B.
C. D.
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．下列命题正确的是（）
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
8．若曲线表示圆，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（）
A. B.
C. D.
11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
12．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（）
A.或11 B.或10
C.或12 D.或11
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，，将中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为___________.
14．已知点和，圆，当圆C与线段没有公共点时，则实数m的取值范围为___________
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

16．已知、均为正实数，且，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：

其中一个数字被污损.
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）
年龄（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式：，.
19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）若函数无零点，求的取值范围
20．（12分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角B的大小；
（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积
21．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知三棱柱中，.

（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.
【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，
故A不正确；
对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；
，表示点与点连线的斜率，
由图可知，所以C正确，
同理，由图可知，故D不正确.
故选：C
2、D
【解析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】建立如图所示的直角坐标系：

设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
3、D
【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案
【详解】由题意知直线的斜率为，，又，

由双曲线定义知，，.
由余弦定理：，，
即，
即，解得.
故双曲线渐近线的方程为.
故答案选D
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 .
4、B
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算可得，根据共线定理即可判断.
【详解】设正方体的棱长为1.
以为坐标原点，所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则.
设，则，取.
，
.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.
5、D
【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D
6、A
【解析】由题意，在上恒成立，只需满足即可求解.
【详解】解：因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
只需满足，即，解得
故选：A.
7、D
【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
8、C
【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
9、D
【解析】根据双曲线定义写出，两边平方代入焦点三角形的余弦定理中即可求解
【详解】双曲线，，所以，根据双曲线的对称性，可假设在第一象限，设，则，
所以，，在中，根据余弦定理：，即，解得：，所以
故选：D
10、D
【解析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可.
【详解】设椭圆的焦距为，
则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，
依题意，不妨设点A的坐标为，
在中，由余弦定理得：
，
，
，
，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆几何性质，在中，利用余弦定理求得是关键，属于中档题.
11、C
【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.
【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，
则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，
则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.
故选：C.
12、A
【解析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意设，，根据可得，从而，即可得出答案.
【详解】设，由，得
，由，得
中的元素满足，即，可得
所以，由,所以
所以，
要使得数列的前n项和的最大值，即求出数列中所以满足的项的和即可.
即，得，则
所以数列的前n项和的最大值为
故答案为：1472
14、
【解析】当点和都在圆的内部时，结合点与圆的位置关系得出实数m的取值范围，再由圆心到直线的距离大于半径得出实数m的取值范围.
【详解】当点和都在圆的内部时，，解得或
直线的方程为，即
圆心到直线的距离为，当圆心到直线的距离大于半径时，，且.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
15、
【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，
所以该几何体的体积为.
故答案为：

16、
【解析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】因、均为正实数，由基本不等式可得，
整理可得，
，，则，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）(,).（2）
【解析】（1）根据条件列关于P点坐标得方程组，解得结果，（2）先根据点到直线距离公式结合条件解得点M坐标，再建立的函数解析式，最后根据二次函数性质求最小值.
【详解】解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P(,),则={+6,},={－4,},
由已知可得
则2+9－18=0,解得=或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,).
（2）直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离为,
则,
由于－6≤≤6, ∴当=时,取得最小值.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
18、（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）先根据两个平均值的大小得到的取值范围，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用方程进行预测.
试题解析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.
（2）由表中数据得，，
∴，线性回归方程.
可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.
19、（1）单调减区间为和；（2）的取值范围为：或
【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.
【详解】(1) ，
又由题意有：，故.
此时，，由或，所以
函数的单调减区间为和.
(2) ，且定义域为，
要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.
构造函数.
①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；
②当时，
⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，
而，故在内有一个零点，所以不满足条件；
⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；
⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增.又，所以在及内均无零点.
又易知，而，
又易证当时，，所以函数在内有一零点，
故不满足条件.
综上可得：的取值范围为：或.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等
20、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.
（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
所以，又B为△的一个内角，则，
所以或；
【小问2详解】
由△不为钝角三角形，即，又，，
由余弦定理，，得（舍去负值），则
∴
21、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
22、（1）证明见解析；
（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.
【解析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.
(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.
【小问1详解】
在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，

则有，因，，平面，于是得平面，
而平面，则，由得，，平面，
从而得平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意，，化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.