江西省赣县第三中学2026届数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

江西省赣县第三中学2026届数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，为正实数，且，则的最小值为（）
A. B.
C. D.1
2．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）
A.10 B.30
C.40 D.46
4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A.3699块 B.3474块
C.3402块 D.3339块
5．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）

A.2 B.
C.4 D.
6．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点中心（，）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
7．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.0 B.1
C.4 D.0或4
8．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，点为切点.若的面积不大于，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．如果直线与直线垂直，那么的值为（）
A. B.
C. D.2
10．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（ ）

①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆
③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆
④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线
A.1 B.2
C.3 D.4
11．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
12．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）
A. B.13
C.45 D.117
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______
14．曲线围成的图形的面积为___________.
15．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.
16．已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线过点
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程
18．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有且仅有2个零点，求实数的值.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
20．（12分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
21．（12分）已知函数，.
（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.
22．（10分）在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求;
（2）若的面积为，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用基本不等式可求的最小值.
【详解】可化为，
由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，
故选：D.
2、B
【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值
【详解】函数定义域是，
有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根
设，则，
时，，递减，时，，递增，
极小值＝，而时，，时，，
所以
故选：B
3、C
【解析】可分为女教师0人，男教师3人和女教师1人，男教师2人两种情况，用组合数表示计算即得解
【详解】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人
若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；
若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；
故女教师最多为1人的选法种数为种
故选：C
4、C
【解析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5、D
【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.
【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，
其原图形是，，，，
则，
故选：D.
6、D
【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误
故选D
7、A
【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
故选：A.
8、C
【解析】由题意，设，直线方程为，则由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求出，进而可得，结合即可得答案.
【详解】解：因为抛物线的性质：在抛物线上任意一点处的切线方程为，设，
所以在点处的切线方程为，在点B处的切线方程为，
因为两条切线都经过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
联立直线与抛物线方程有，消去得，
由得，，由韦达定理得，
所以弦长，
所以，
整理得，即，解得，又
所以.
故选：C.
9、A
【解析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以.
故选：A
10、C
【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.
【详解】若点P总满足，又，，，可得对角面，因此点P的轨迹是直线，故①正确
若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是以点B为圆心，以1为半径的圆（在平面内），因此圆的周长为，故②正确
点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1，又，则动点P的轨迹是线段BC，因此③不正确
点P到平面的距离（即到直线的距离）与到直线CD的距离（即到点C的距离）相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线（在平面内），因此④正确
故有①②④三个
故选:C
11、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
12、C
【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答
【详解】在等差数列中，因，所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.
【详解】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：，
所以欧拉线的方程为.
故答案：
14、##
【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.

当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案：.
15、##
【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.
【详解】圆即为，
直线为过原点的直线，如图，连接，

故，解得，
此时，故的面积为，
当且仅当时等号成立，此时即，
故答案为：.
16、
【解析】首先由条件求出底面边长和高，然后设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为，则点为正三棱柱外接球的球心，然后求出的长度即可.
【详解】
如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以，因此等边三角形的高为：，
因为一个侧面的周长为，所以
设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为
则点为正三棱柱外接球的球心，连接、
则
在直角三角形中，
即外接球的半径为，所以外接球的表面积为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：求几何体的外接球半径的关键是根据几何体的性质找出球心的位置.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；
(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.
【小问1详解】
解：因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是
综上，所求直线的方程为或
18、（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）
【解析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）利用导数研究的单调性、极值，从而求得的值.
【小问1详解】
由，得，
令，得或；
令，得.
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.
【小问2详解】
∵，∴.
当时，；当时，
∴的单调递减区间为，；单调递增区间为.
∴的极小值为，极大值为.
当时，；当时，.
又∵函数有且仅有2个零点，
∴实数的值为.
19、（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；
（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
当时，，
令，则，所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，且.
①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.
②当时，，不符合题意，舍去.
③当时，令，则，
则，，当时，，所以在上单调递减，
当时，，不符合题意，舍去.
综上，a的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，
（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则，令，则，
∵平面，
∴∥平面.
【小问2详解】
，
设平面的法向量为，
则，令，则.
∴.
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面的夹角为.

21、（1）；（2）.
【解析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；
（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，
即；
（2）当时，恒成立等价于,
令,.则，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，
所以,所以.
即实数a的取值范围为.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）由条件可得，即，从而可得答案.
(2)由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
所以，
因为所以，
因为，所以
（2）由面积公式得，于是，
由余弦定理得，
即，整理得，故.