四川省眉山一中办学共同体2026届高二数学第一学期期末预测试题含解析.doc

四川省眉山一中办学共同体2026届高二数学第一学期期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两直线与，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P

则数学期望（）
A. B.
C.1 D.2
3．已知，，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4．若等比数列的前n项和，则r的值为（ ）
A. B.
C. D.
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A. B.
C. D.
6．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
7．已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（）

A.关于点对称
B.关于直线对称
C.为奇函数
D.为偶函数
8．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（）
A.0.2 B.0.3
C.0..5 D.0.6
9．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
10．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面
C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面
11．设点是点，，关于平面的对称点，则（）
A.10 B.
C. D.38
12．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在四面体ABCD中，，，则______
14．已知A，B为x，y正半轴上的动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.
15．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______
16．已知向量，，若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，其中是自然对数的底数，.
（1）若，求的最小值；
（2）若，证明：恒成立.
18．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
（1）求该抛物线的标准方程和的值；
（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
19．（12分）设集合
（1）若，求；
（2）设，若是成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围
20．（12分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.
21．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
参考公式：，
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
95
80
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）预测该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
22．（10分）已知椭圆C：过两点
（1）求C的方程；
（2）定点M坐标为，过C右焦点的直线与C交于P，Q两点，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.
【详解】直线的方程化为：，显然，，
所以与间的距离为.
故选：B
2、D
【解析】利用已知条件，结合期望公式求解即可
【详解】解：由题意可知：
故选：D
3、C
【解析】根据充要条件的定义进行判断
【详解】解：因为函数为增函数，由，所以，故“”是“”的充分条件，
由，所以，故“”是“”的必要条件，
故“”是“”的充要条件
故选：C
4、B
【解析】利用成等比数列来求得.
【详解】依题意，等比数列的前n项和，
，
，所以.
故选：B
5、C
【解析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
6、B
【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.
【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，
则点P(2，1)在渐近线y＝x上，
又双曲线的右顶点为A(2，0)，
如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)

【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.
7、D
【解析】根据图象求得函数解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
根据图形走势，可得，解得，
令，可得，所以，
由，所以A不正确；
由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；
由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；
由为偶函数，所以D正确.
故选：D .
8、D
【解析】利用正态分布的计算公式：，

【详解】且

又

故选：D
9、B
【解析】以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.
【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B
10、D
【解析】根据对立事件的定义即可得出结果.
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，
“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，
对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”
故选：D
11、A
【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长
【详解】点是点，，关于平面的对称点，
的横标和纵标与相同，而竖标与相反，
，，，
直线与轴平行，
，
故选：A
12、B
【解析】计算出、的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果.
【详解】，，则，
执行如图所示的程序，，成立，则，不成立，输出的值为.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、24
【解析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.
【详解】由题设，可得如下四面体示意图，

则，
又，，
所以.
故答案为：24
14、32
【解析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出，利用三角函数换元，求出最大值.
【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，设，（），则由三角形全等可知，设，，则，则，，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为32

故答案为：32
15、
【解析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得
【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为
故答案为：

16、
【解析】根据向量平行求得，由此求得.
【详解】由于，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，求出，可得答案；
（2）设，，，，，设，求出利用单调性可得答案.
【小问1详解】
当时，，
则，
所以单调递增，又，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以.
【小问2详解】
设，
若，则，
若，则，
设，
则，所以单调递增，又，
当时，，上单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，
综上，恒成立.
【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
18、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；
（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.
【小问1详解】
解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为，
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，
，
∴抛物线方程为，
又点在抛物线上，
，
，
∴所求抛物线方程为，.
【小问2详解】
方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，
由得，
设，，则，，
所以

，即为定值；
方法二：由于直线过点，
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由
可得，，，所以；
②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，
由得，
设，，则，.
所以

，即为定值.
综上，为定值.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据不等式的解答求得，当时，求得，结合集合并集的运算，即可求解；
（2）由题意得到是的真子集，根据集合间的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由，解得，即，
当时，可得，
所以.
【小问2详解】
解：由集合，
因为，且是成立的必要不充分条件，是的真子集，
所以且等号不能同时成立，解得，
其中当和是满足题意，故实数的取值范围是.
20、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；
（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.
【小问1详解】
（1）由条件得，
所以方程为
【小问2详解】
易知直线斜率存在，令，，，
由

，
因为，
所以，即①，
因为，
所以，即②
由①，由②

将，代入上式，
得
21、（1）；
（2）37
【解析】（1）将题干数据代入公式求出与，进而求出回归直线方程；（2）再第一问的基础上代入求出结果.
【小问1详解】
，，则，，所以回归直线方程；
【小问2详解】
令得：，故该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为37.
22、（1）；
（2）为定值.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求解即可；
（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化，求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆过两点，
故可得，解得，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
由（1）可得：，故椭圆的右焦点的坐标为；
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：，代入椭圆方程，可得，
不妨取，又，故.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立椭圆方程，
可得：，设坐标为，
故可得，
则

.
综上所述，为定值.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；处理问题的关键是合理的利用韦达定理，将目标式进行转化，属中档题.