2025年江苏省南京市六校联合体数学高二上期末调研试题含解析.doc

2025年江苏省南京市六校联合体数学高二上期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设两个变量与之间具有线性相关关系，相关系数为，回归方程为，那么必有（）
A.与符号相同 B.与符号相同
C.与符号相反 D.与符号相反
2．经过点作圆的弦,使点为弦的中点，则弦所在直线的方程为
A. B.
C. D.
3．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．函数图象如图所示,则的解析式可以为

A. B.
C. D.
5．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．圆与圆的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．椭圆的焦点坐标为（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
8．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()
A. B.
C. D.
9．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
10．已知数列是等比数列，且，则的值为（）
A.3 B.6
C.9 D.36
11．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A.1 B.
C.3 D.
12．胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素，现从，两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是

A. B.的方差大于的方差
C.品种的众数为 D.品种的中位数为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线围成的图形的面积为___________.
14．双曲线的渐近线方程是____________
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.
16．设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.
（1）写出试验的样本空间；
（2）求“”的概率.
18．（12分）已知等差数列前n项和为，，，若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数，当时，函数有极值1.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.
20．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，E为的中点

（1）若，证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围
21．（12分）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
22．（10分）已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用相关系数的性质，分析即得解
【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，
r为负，表示负相关，回归直线方程下降，
与r的符号相同
故选：A
2、A
【解析】由题知为弦AB的中点，可得直线与过圆心和点的直线垂直，可求的斜率，然后用点斜式求出的方程
【详解】由题意知圆的圆心为， ，由，得，∴弦所在直线的方程为，整理得.选A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题
3、B
【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由得或，
由得，
因为或推不出，但能推出或成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4、A
【解析】利用排除法：
对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；
对于C,当时，，
当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；
对于D,的定义域为，不符合题意；
本题选择A选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
5、B
【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
6、D
【解析】公切线条数与圆与圆的位置关系是相关的，所以第一步需要判断圆与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3；圆的圆心坐标为，半径为1，所以两圆的心心距为，所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
7、D
【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.
【详解】，可得焦点坐标为和.
故选：D
8、A
【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.
【详解】由题意得，即，
由几何概型得，在定义域内任取一点，
使的概率是.
故选：A.
9、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
10、C
【解析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.
【详解】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
故选：C
11、D
【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.
【详解】由，可知，则有，解之得
故选：D
12、C
【解析】读懂茎叶图，分别计算出众数、中位数、方差，然后对各选项进行判断
【详解】由茎叶图知，品种所含胡萝卜素普遍高于品种，所以，故A正确；
品种的数据波动比品种的数据波动大，所以的方差大于的方差，故B正确；
品种的众数为与，故C错误；
品种的数据的中位数为，故D正确.
故选.
【点睛】本题主要考查了对数据的分析，首先要读懂茎叶图，然后计算出众数、中位数、方差，即可对各选项进行判断，较为基础

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.

当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案：.
14、
【解析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程为，可知，；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案：.
15、
【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
由题可知
即
因为，所以解得：
所以.
故答案为：
16、
【解析】由不等式分离参数，令，则求即可
【详解】由，得，
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
由于存在，成立，则
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）
【解析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，
（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【小问1详解】
由题意可知试验的样本空间为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
【小问2详解】
由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，
所以“”的概率为
18、
【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解方程得，，进而得，故恒成立，再结合二次函数的性质得当或4时，取得最小值，进而得答案.
【详解】解：设等差数列的公差为，
由已知，.
联立方程组，解得，.
所以，，
由题意，即.
令，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
所以当或4时，取得最小值，
所以实数的取值范围是.
19、（1）（2）
【解析】（1）根据，可得可得结果.
（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.
【详解】（1）由，
有，
又有，
解得：，，
故函数的解析式
为
（2）由（1）有可知：

故函数的增区间为，，
减区间为，
所以的极小值为，
极大值为
由关于x的方程有一个实数根，
等价于方程有一个实数根，
即等价于函数的图像只有一个交点
实数m的取值范围为
【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）取的中点F，连接．先证明，，即证平面，原题即得证；
（2）分别取的中点G，H，连接，证明为直线与平面所成的角，设正方形的边长为1，，在中，，即得解.
【小问1详解】
解：取的中点F，连接
因为，则为正三角形，所以
因为平面平面，则平面
因为平面，则．①
因为四边形为正方形，E为的中点，则
，所以，
从而，
所以．②
又平 面 ,
结合①②知，平面，所以
【小问2详解】
解：分别取的中点G，H，则，
又,，则，
所以四边形为平行四边形，从而.
因为，则
因为平面平面，，则平面，
从而，因为平面，
所以平面，从而平面
连接，则为直线与平面所成的角.
设正方形的边长为1，，则
从而，.
在中，
因为当时，单调递增，则，
所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围是.

21、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解.
【小问1详解】
双曲线离心率为，实轴长为2，
，，解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
∴双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，
∴双曲线焦点到渐近线的距离为.
【小问2详解】
设,,
联立，，，
，
，
，
解得
22、（1），短轴长为，焦距为；（2）.
【解析】（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离
【详解】（1）由已知：，，
故，，
则椭圆的方程为：，
所以椭圆的短轴长为，焦距为.
（2）联立 ，解得，，
所以，，
故