2025-2026学年江西省临川二中、临川二中实验学校高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江西省临川二中、临川二中实验学校高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
4．设双曲线与幂函数的图象相交于，且过双曲线的左焦点的直线与函数的图象相切于，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
5．已知两个向量，，且，则的值为（）
A.1 B.2
C.4 D.8
6．方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（）
A.4 B.2
C. D.
8．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）

A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值
C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值
10．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（ ）
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
11．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为()
A. B.
C. D.
12．函数的值域为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是______

14．设直线，直线，若，则_______.
15．已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为______

16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.

（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；
（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.
18．（12分）如图所示，在直三棱柱中，，，
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）

19．（12分）已知二次函数，令，解得.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
20．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
21．（12分）在等比数列{}中，
（1），，求；
（2），，求的值.
22．（10分）已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据长方体中，异面直线和所成角即为直线和所成角，再结合余弦定理即可求解.
【详解】解：连接、，如下图所示

由图可知，在长方体中，且，所以，
所以异面直线和所成角即为，
又，，
由余弦定理可得∶
故选：D.
2、A
【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
3、A
【解析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可
【详解】由，且
则有：
根据正态分布的对称性可知：
故选：A
4、B
【解析】设直线方程为，联立，利用判别式可得，进而可求，再结合双曲线的定义可求，即得.
【详解】可设直线方程为，联立，得，
由题意得,
∴，，
∴，即，
由双曲线定义得，
.
故选：B.
5、C
【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
6、C
【解析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.
【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，
表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图

圆心到直线的距离为，解得，
当直线经过时由得，当直线经过时由得，
所以实数k的取值范围为.
故选：C.
7、D
【解析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.
【详解】解：椭圆的下焦点为，
即为抛物线焦点，∴，∴.
故选：D.
8、A
【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.
【详解】解：依题意，即，
所以，
所以，由于，
所以
故选：A
9、B
【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可
【详解】由，得，令，
由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，
当时，，
当时，，即，
所以为的极大值点，为的极大值，
当时，，即，
所以为的极小值点，为的极小值，
故选：B
10、D
【解析】根据双曲线的性质求解即可.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，
可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.
故选：D.
11、A
【解析】用点差法即可获解
【详解】设.
则
两式相减得
即
因为,线段AB的中点为,所以
所以
所以直线的方程为,即
故选: A
12、C
【解析】根据基本不等式即可求出
【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率
【详解】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：
01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16种情况，其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为
，
故答案为：

14、##0.5
【解析】根据两直线平行可得，，即可求出
【详解】依题可得，，解得
故答案为：
15、
【解析】根据双曲线的定义先计算出，，注意到图中渐近线，于是利用两种不同的表示法列方程求解.
【详解】，则，由双曲线的定义及在右支上，
，又在左支上，则，则，在中，由余弦定理，，而图中渐近线，于是，得，于是，不妨令，化简得，解得，渐近线就为：.
故答案为：.
16、36
【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值
【详解】∵l⊥α，
∴，
∴，解得，
∴
故答案为：36

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）点为MC的中点，理由见解析；
（2）
【解析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点为MC的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.
【小问1详解】
点为MC的中点，理由如下：
因为平面，平面，所以，，又，由三线合一得：点为MC的中点
【小问2详解】
取AB的中点H，连接PH，CH，则由（1）知：，结合点为MC的中点，所以PA=PB，故由三线合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即为二面角的平面角，
因为，，，所以，，，由勾股定理得：，，，
在△PCH中，由余弦定理得：，
故二面角的余弦值为

18、（1）；（2）
【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S侧，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；
（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论
【详解】（1）在△ABC中，因为AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2
所以S＝2S△ABC+S侧＝4+（2+2+4）×4＝24+12
（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）
在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，
所以∠BA1C1＝arccos，即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos

【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的两个根，根据根与系数之间的关系，即可求，；
（2）根据题意，得出不等式恒成立，则，解不等式即可求出实数的范围.
详解】解：（1）由题可知，，解得：，
则-3，2是方程的两个根，且，
所以由根与系数之间的关系得，解得，
所以二次函数的解析式为：；
（2）由于不等式恒成立，即恒成立，
则，解得：，
所以实数的范围为.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求函数解析式，以及不等式恒成立问题求参数范围，考查根与系数的关系和一元二次函数的图象和性质，考查化简运算能力
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设的公差为，
由已知得，解得，
所以.
【小问2详解】

所以.
21、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，
（2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解
【小问1详解】
.
【小问2详解】
方法1：
.

∴.
方法2：，整理得：
又
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得，进而得椭圆方程；
（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.
【小问1详解】
由题意可得：
解得：，所以椭圆的方程：
【小问2详解】
当直线l的倾斜角为锐角时，设，
设直线，
由得，
从而，又，得，
所以，
又直线的方程是：，令，
解得，所以点S为；
直线的方程是：，同理点T为·
所以，
因为，所以，
所以

∵，∴，
综上，所以的范围是