2025年吴忠市重点中学数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年吴忠市重点中学数学高二第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
2．正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（        ）
A. B.
C. D.
3．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）
A.10 B.11
C.12 D.13
4．已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()
A. B.
C. D.
7．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
8．数列中，，，则（　　）
A.32 B.62
C.63 D.64
9．我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）

A. B.
C. D.1
10．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）
A. B.
C. D.
11．若集合，，则
A. B.
C. D.
12．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为______
14．已知空间向量， 则向量在坐标平面上的投影向量是__________
15．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______
16．观察式子：
，
，
，
由此归纳，可猜测一般性的结论为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
18．（12分）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.
（1）求圆C的方程；
（2）当时，求线段AB的长；
（3）当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.
19．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.

（1）证明：；
（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.
20．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
21．（12分）已知定点，动点与连线的斜率之积.
（1）设动点的轨迹为，求的方程；
（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，.

（1）证明：平面；
（2）已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故选：D
【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.
2、B
【解析】由正方体表面积求得棱长，再求得正方体的对角线长，即为外接球的直径，从而可得球表面积
【详解】设正方体棱长为，由得，
正方体对角线长，所以其外接球半径为，
球表面积为
故选：B
3、C
【解析】根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.
【详解】设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，
则由题意可得，解得，则.
令，即，解得，又，所以，，
所以最多可以建设12个实验室.
故选：C.
4、D
【解析】根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为：，半径，
由圆的割线定理可知：，显然有，或，
因为，所以，
于是有，
因为，
所以，而，或，
所以，
故选：D
5、C
【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
6、A
【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.
【详解】由题意得，即，
由几何概型得，在定义域内任取一点，
使的概率是.
故选：A.
7、A
【解析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，根据面面垂直的判定定理可知，A选项正确，
对于B选项，当，时，和可能相交，B选项错误，
对于C选项，当，时，可能含于，C选项错误，
对于D选项，当，时，可能含于，D选项错误.
故选：A
8、C
【解析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为；
9、C
【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得，建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离
【详解】
设AB，CD的交点为，连接PO，由题意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由题意OB=OP=OC =2，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示∶
可得∶，
设抛物线的方程为y2 = mx，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为∶，
所以焦点坐标为，准线方程为，
所以焦点到其准线的距离为
故选：C

10、B
【解析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.
【详解】是各项均为正数的等比数列，，
，，.
故选：B
11、A
【解析】通过解不等式得出集合B，可以做出集合A与集合B的关系示意图，可得出选项.
【详解】因为，解不等式即，所以或，
所以集合，作出集合A与集合B的示意图如下图所示：
所以：，
故选A

【点睛】本题考查集合间的交集运算，属于基础题.
12、C
【解析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.
【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，
∴，则，故中，可得：.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据双曲线离心率为，可得的值，进而可得双曲线焦点到一条渐近线的距离.
【详解】由双曲线离心率为，得，即，
故双曲线方程为，
焦点坐标为，渐近线方程为：，
故焦点到渐近线的距离为，
故答案为：.
14、
【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.
故答案为：
15、
【解析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值
【详解】解：函数的导数为，
设与直线平行的直线与曲线相切，
设切点为，则，
所以，所以，所以，所以，
所以切线方程为，
可得的最小值为，
故答案为：
16、
【解析】根据规律，不等式的左边是个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论
【详解】解：观察可以发现，第个不等式左端有项，分子为1，
分母依次为，，，，；
右端分母为，分子成等差数列，首项为3，公差为2，
因此第个不等式（）
故答案为：（）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）原点在以线段AB为直径的圆上，详见解析.
【解析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得，即得.
【小问1详解】
由椭圆，可得
，故，
∴抛物线C的方程为.
【小问2详解】
由题可设直线l的方程为，
由，得，
设，则
，
又，故，
∴，
∴，即，
故原点在以线段AB为直径的圆上.
18、（1）；
（2）；
（3）4.
【解析】(1)根据圆圆心和半径设圆的标准方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径即可求出a；
(2)根据题意写出AB的方程，根据垂径定理即可求出弦长；
(3)根据题意求出AB经过的定点Q，当CQ垂直于AB时，AB最短.
【小问1详解】
由题，设圆C的标准方程为，
则，解得.
故圆C方程为；
【小问2详解】
根据题意可知，直线的方程为，即，
圆心C到直线的距离为，
故弦长；
【小问3详解】
设，则，又直线方程为：，
故直线过定点Q，
设圆心C到直线距离为，则，
故当最大时，最短，而，故与垂直时最大，此时，，
∴线段长度的最小值4.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；
（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
证明：设，，
，
，
；
【小问2详解】
当为的中点时，，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：

20、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
21、（1）；
（2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【解析】(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.
(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.
【小问1详解】
设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，
依题意，，化简整理得：，
所以的方程是：.
【小问2详解】
由(1)知，令是上任意一点，则点，
直线：，则点，直线：，则点，
以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，
当点Q与M，N之一重合时，也成立，
因此，以MN为直径的圆的方程为：，
化简整理得：，而，即，
则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，
即圆恒过两个定点和，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.
【点睛】知识点睛：以点为直径两个端点的圆的方程是：.
22、（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】（1）利用平面与平面垂直的性质得出直线与平面垂直，进而得出平面；
（2）建立空间直角坐标系即可求解.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，交线为
且平面中，
所以平面
又平面
所以
又，且
所以平面
【小问2详解】
解：由（1）知，平面且
所以、、两两垂直
因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，，，设
所以，，，，
由（1）知，平面
所以为平面的法向量且

因为直线与平面所成角的正弦值为
所以
解得：
所以，又，，
所以，，，
设平面与平面的法向量分别为：，
所以，
令，则
令，则，，即
设平面与平面夹角为
则
所以平面与平面夹角的余弦值为.