广东省深圳高级中学2025年数学高二上期末经典模拟试题含解析.doc

广东省深圳高级中学2025年数学高二上期末经典模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
2．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）
A. B.
C. D.
3．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（）
A. B.
C. D.
4．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于( )

A. B.
C. D.
5．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）

A. B.
C. D.
6．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为
A.6 B.7
C.6或7 D.不存在
7．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.锐角三角形
9．函数的部分图像为（）
A. B.
C. D.
10．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A.66 B.72
C.132 D.198
12．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量， 则向量在坐标平面上的投影向量是__________
14．已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______
15．经过点，，的圆的方程为______.
16．设，则动点P的轨迹方程为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，与轴垂直，且
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆上，且，求的面积
18．（12分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值

19．（12分）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，
（1）求{}的通项公式：
（2）设，数列的前n项和为，求
20．（12分）已知等差数列公差不为0，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式及其前n项和；
（2）记，求数列的前n项和.
21．（12分）2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜·基秣崔天以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

体能一般
体能优秀
合计
数学一般
50
50
100
数学优秀
40
60
100
合计
90
110
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？（结果精确到小数点后两位）
（2）①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；
②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差
参考公式：，其中
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.25
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

22．（10分）已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D
2、D
【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.
【详解】由题意，得，
则复数的虚部为.
故选：D.
3、A
【解析】不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论
【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以
故选：A

4、D
【解析】连接，利用，化简即可得到答案.
【详解】连接，如下图

.
故选：D.
5、D
【解析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.
6、C
【解析】设等差数列的公差为
∵
∴
∴
∴
∵
∴当取最大值时，的值为或
故选C
7、A
【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.
【详解】取的一条渐近线，
因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），
其中，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.
8、A
【解析】根据三边的关系即可求出
【详解】因，所以，而，，，
所以
，
即，所以为直角三角形
故选：A
9、D
【解析】先判断奇偶性排除C，再利用排除B，求导判断单调性可排除A.
【详解】因为，所以为偶函数，排除C；
因为，排除B；
当时，，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，排除A.
故选：D
10、C
【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB距离，

又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
11、A
【解析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.
【详解】因为等差数列的公差,
所以，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 或12时，该数列的前项和取得最大值，
最大值为，
故选：A
12、B
【解析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.
【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，
，求导，令，得
当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；
作出函数图像，如图所示，

由图可知，实数的取值范围是
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.
故答案为：
14、
【解析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.
【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，
依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，
因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，
于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：

令，于是得，当，即时，，
所以Q点纵坐标的最大值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：圆上的点到定直线距离的最大值等于圆心到该直线距离加半径.
15、
【解析】设所求圆的方程为，然后将三个点的坐标代入方程中解方程组求出的值，可得圆的方程
【详解】设所求圆的方程为，则
，解得，
所以圆的方程为，即，
故答案为：
16、
【解析】根据双曲线的定义可得答案.
【详解】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由椭圆的性质求出，进而得出方程；
（2）由，结合余弦定理求出，再由面积公式得出三角形的面积.
【详解】解：（1），与轴垂直，，∴
∴椭圆的方程为
（2）由（1）知，
∵，
∴
∴，∴的面积为
【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用余弦定理结合完全平方和公式求出，进而得出面积.
18、 (1)见解析;(2).
【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF ，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值
【详解】（1）∵是平行四边形，且
∴，故，即
取BC的中点F，连结EF.
∵
∴
又∵平面平面
∴平面
∵平面
∴
∵平面
∴平面，
∵平面
∴
（2）∵,由（Ⅰ）得
以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则
∴
设平面的法向量为，则，即
得平面一个法向量为
由（1）知平面，所以可设平面的法向量为
设平面与平面所成二面角的平面角为，则
即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.

【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点
（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标
（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；
（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.
小问1详解】
设等差数列{}的公差为d，
则,
整理可得：，∵d是整数，解得，
从而，
所以数列{}的通项公式为：;
【小问2详解】
由（1）知，，

所以
20、（1），
（2）
【解析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出；
（2）根据裂项相消法即可求出
【小问1详解】
由题意：，即，
又∵，∴，∴，
∴，.
【小问2详解】
因为，
∴.
21、（1）不能，理由见解析；
（2）①，②，
【解析】（1）运用公式求出，比较得出结论.
（2）①先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人是“体能优秀”的概率.
②根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差的公式即可求出答案
【小问1详解】
由表格的数据可得，，
故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关.
【小问2详解】
①在数学优秀的人群中，“体能优秀”与“体能一般”的比例为
“体能一般”的人数为，
“体能优秀”的人数为
故再从这10人中随机选出4人，其中至少有2人是“体能优秀”的概率为.
②由题意可得，随机抽取一人“体能优秀”的概率为，且
故，
22、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.
【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，
即，故①.
由得，所以②.
由①②解得，.
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
所以，
故，
所以.
因为，所以.
【点睛】数列求和的常见方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.