吉林省榆树市榆树一中2026届高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

吉林省榆树市榆树一中2026届高二数学第一学期期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）

A. B.
C. D.
3．等比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
5．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()
A. B.
C. D.
6．若等差数列，其前n项和为，，，则（）
A.10 B.12
C.14 D.16
7．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
8．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
9．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（）
A. B.
C. D.
11．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B.
C. D.
12．两圆与的公切线有（）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等比数列的前n项和，则的通项公式为___________.
14．过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最长，则直线的方程是______
15．如图茎叶图记录了A、两名营业员五天的销售量，若A的销售量的平均数比的销售量的平均数多1，则A营业员销售量的方差为___________.

16．在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.
18．（12分）已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.
19．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点

（1）求证：；
（2）当D为中点时，求平面ADC与平面所成角的正弦值
20．（12分）已知抛物线的焦点在直线上
（1）求抛物线的方程
（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程
21．（12分）已知等差数列满足，，的前项和为.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和.
22．（10分）已知函数.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，求在区间上的最小值和最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解
【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，

当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为
故选：B
2、A
【解析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】连接、，

因，
因为是线段上一点，且，则，
因此，
因此，.
故选：A.
3、D
【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；
故选：D
4、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
5、A
【解析】利用为定值即可获解.
【详解】
设
则
又,所以
所以

当且仅当,即,取等
故选:A
6、B
【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.
【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，
，即，
得.
故选：B.
7、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
8、D
【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程
【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得
故选：
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题
9、B
【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
10、D
【解析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.
【详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，

所以，，又，，则且，
所以为平行四边形，即，又面，面，
所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，
由底面ABCD，面ABCD，即，，，
又，即，，则面，面，即，
而，，，，易知：，
在△中；在△中；在△中；
综上，，故，
又，则.
所以B到平面PCD的距离为.
故选：D
11、A
【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
12、D
【解析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用的关系，结合是等比数列，即可求得结果.
【详解】因为，故当时，，则，
又当时，，因为是等比数列，故也满足，
即，故，此时满足，则.
故答案为：.
14、
【解析】当直线l过圆心时满足题意，进而求出答案.
【详解】圆的标准方程为：，圆心，当l过圆心时满足题意，，所以l的方程为：.
故答案为：.
15、44
【解析】先根据题意求出x的值，进而利用方差公式求出A营业员销售量的方差.
【详解】由A的平均数比的平均数多1知，A的总量比的总量多5，所以，A的平均数为17，
方差为.
故答案为：44
16、4
【解析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意：抛物线的准线为，设点P的纵坐标为，
由抛物线定义可得，解得，
所以点P的纵坐标为4.
故答案为：4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)根据给定条件利用椭圆的定义求出轴长即可计算作答.
(2)根据给定条件设出的方程，与椭圆C的方程联立，求出直线PA的方程并求出点M的坐标，求出点N的坐标，再利用斜率推理作答.
【小问1详解】
依题意，椭圆的左焦点，由椭圆定义得：

即，则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由(1)知，，直线不垂直y轴，设直线方程为，，
由消去x得：，则，，
直线的斜率，直线的方程：，而直线，即，
直线的斜率，而，即，直线的斜率，
直线的方程：，则点，
直线的斜率，直线的斜率，
，
而，即，
所以三点共线.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元
二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系
18、（1）；
（2）
【解析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；
（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求出前项和.
【小问1详解】
由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和 首项相同为2，则数列的通项公式为.
【小问2详解】
由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为3， 则，即，.①.
②.
①减去②得.
.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证；
（2）利用坐标法即求.
【小问1详解】
∵，E为AB中点，
∴，
∵平面ABC，平面ABC，
∴，又，，
∴平面，平面，
∴；
【小问2详解】
以C点为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则

平面的法向量为，
设平面ADC法向量为，
则，∴，即，
令，则
∴平面ADC与平面所成角的余弦值为
，
所以平面ADC与平面所成角的正弦值.
20、（1）
（2）的方程为、、
【解析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.
【小问1详解】
抛物线的焦点在轴上，且开口向上，
直线与轴的交点为，则，
所以，抛物线的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
，解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述，的方程为、、.

21、（1），；（2）.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式及已知条件，，解方程组可得，，进而可得等差数列的通项公式，再利用等差数列的前项和公式可得；
（2）将数列的通项公式代入可得的通项公式，利用错位相减法求和可得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由于，，所以，，
解得，，
所以，；
（2）因为，所以，
故，
，
两式相减得
，
所以.
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.
22、（1）在和上单调递增，在上单调递减.
（2）答案见解析.
【解析】（1）求解导函数，并求出的两根，得和的解集，从而得函数单调性；（2）由（1）得函数的单调性，从而得最小值，计算，再分类讨论与两种情况下的最大值.
【小问1详解】
函数定义域为，，时，或，因为，所以，时，或，时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，又因为，当时，，此时最小值为，最大值为；当时，，此时最小值为，最大值为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用