2026届安徽省淮北师大附中数学高二上期末调研模拟试题含解析.doc

2026届安徽省淮北师大附中数学高二上期末调研模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数在和处的导数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.不能确定
2．下列各式正确的是（）
A. B.
C. D.
3．已知，则点到平面的距离为（）
A. B.
C. D.
4．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
5．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440 B.330
C.220 D.110
6．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）
A. B.
C. D.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（ ）
A.正三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
8．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
9．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．抛物线的焦点到准线的距离为（）
A. B.
C. D.
11．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（）
A.48 B.40
C.28 D.24
12．已知集合，从集合A中任取一点P，则点P满足约束条件的概率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___
14．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________
15．设，则_________
16．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):
①点P到抛物线焦点的距离为
②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
其中正确的是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数.
18．（12分）已知圆与
（1）过点作直线与圆相切，求的方程；
（2）若圆与圆相交于、两点，求的长
19．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.
20．（12分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为.
（1）写出试验的样本空间；
（2）求“”的概率.
21．（12分）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，
（1）求{}的通项公式：
（2）设，数列的前n项和为，求
22．（10分）设命题对于任意，不等式恒成立．命题实数a满足
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求出函数导数即可比较.
【详解】，，所以，即.
故选：A.
2、C
【解析】利用导数的四则运算即可求解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：C
3、A
【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】依题意，，
设平面的法向量，则，令，得，
则点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
故选：A
4、A
【解析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案
【详解】如图，连接交于点，过点作于，
则平面，则，
设，
则，
则根据三角形面积得，
代入解得
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，
设平面的法向量为，，，
则，即，令，得
，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，
故选：

5、A
【解析】由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
Ⅱ卷
6、C
【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.
【详解】5个数取3个数的所有情况如下：
{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.
故选：C.
7、C
【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.
【详解】解：由题，得，即，
由正弦定理可得：，
所以，所以
三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.
故选：C.
8、A
【解析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，根据面面垂直的判定定理可知，A选项正确，
对于B选项，当，时，和可能相交，B选项错误，
对于C选项，当，时，可能含于，C选项错误，
对于D选项，当，时，可能含于，D选项错误.
故选：A
9、C
【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.
【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是
故选：C
10、B
【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.
【详解】由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1，
故选：B.
11、D
【解析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
12、C
【解析】根据圆的性质，结合两条直线的位置关系、几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】，圆心坐标为，半径为，
直线互相垂直，且交点为，由圆的性质可知：

点P满足约束条件的概率为，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】取点，可得，从而，，从而可求解
【详解】解：由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号
故答案为：

14、
【解析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可
【详解】设
,又有成立，
函数，即是上的增函数
，，即,
，
故答案为：
15、
【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.
【详解】解：由，得，
所以.
故答案为：.
16、②③④
【解析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；
求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；
设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；
设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④
【详解】解：由抛物线过点，所以，所以，
所以抛物线的方程为：；
可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，
对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；
对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，解得，
所以，故②正确；
对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，
得：ky2－y＋1－k＝0，
＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；
对于④，设直线的方程为：，
与抛物线联立可得，所以，
所以，代入直线中可得，即，，
直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，
代入直线的方程可得，所以，，
所以为定值，故④正确
故答案为：②③④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当， 在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.
（2）0.
【解析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；
（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.
【小问1详解】
以为，其定义域为，又，
故当时，，在单调递增；
当时，令，可得，且
令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减.
综上所述：当， 在单调递增；
当，在单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
因为，故可得，
则，
；
下证恒成立，
令，则，
故在单调递减，又当时，，故在恒成立，
即；
因为，故，
令，
下证在恒成立，
要证恒成立，即证，又，
故即证，
令，则，
令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，
又当时，，也即；
令，则，
令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，
又当时，，也即；
又，故恒成立，
则在恒成立，又，
故当时，恒成立，
则在上的零点个数是.
【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数零点问题的处理；本题第二问处理的关键是通过分离参数和构造函数，证明恒成立，属综合困难题.
18、（1）或
（2）
【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；
（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.
【小问1详解】
解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为
若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件
若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：
由与圆相切可得：，解得：
所以的方程为：，即：
综上可得的方程为：或
【小问2详解】
联立两圆方程得：，
消去二次项得所在直线的方程：，
圆的圆心到的距离，
所以.
19、（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.
【详解】（Ⅰ）由题可知.
令，得，从而，
∴的单调递减区间为.
（Ⅱ）由可得，
即当时，恒成立.
设，则.
令，则当时，.
∴当时，单调递增，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴，
∴.
【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.
20、（1）见解析 （2）
【解析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，
（2）由（1）可知共有16种情况，其中和为5的有4种，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【小问1详解】
由题意可知试验的样本空间为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
【小问2详解】
由（1）可知共有16种等可能情况，其中满足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4种，
所以“”的概率为
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；
（2）根据（1）的结果，求出的表达式，利用裂项求和的方法求得答案.
小问1详解】
设等差数列{}的公差为d，
则,
整理可得：，∵d是整数，解得，
从而，
所以数列{}的通项公式为：;
【小问2详解】
由（1）知，，

所以
22、（1）
（2）
【解析】(1)由即可获解
(2)p、q一真一假,分情况讨论即可
【小问1详解】
由命题为真,得任意,不等式恒成立
所以
即
所以实数的取值范围为
【小问2详解】
由命题为真,得
因为“或”为真,“且”为假,所以p、q一真一假
若真假,则,即
若假真,即
所以实数的取值范围为