安徽省马鞍山市2025年高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

安徽省马鞍山市2025年高二数学第一学期期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
3．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（）
A. B.
C. D.
4．已知直线平分圆C：，则最小值为（）
A.3 B.
C. D.
5．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A. B.
C. D.
7．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）

A. B.
C. D.
8．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）

A.2 B.
C. D.
9．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）
A. B.
C. D.
10．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是

A.153 B.171
C.190 D.210
12．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线的长度为____________.
14．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.
15．已知，且，则_____________
16．椭圆的离心率是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由
18．（12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表，按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人.

高三
高二
高一
女生
100
150
z
男生
300
450
600

（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人，经检测她们的得分如图所示，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5分的概率.
19．（12分）已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A,B两点，且时，求直线l的方程.
20．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.
（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.

21．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：
（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.
22．（10分）已知抛物线的准线方程为
（1）求C的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
2、B
【解析】求出，根据点到直线的距离的向量公式进行求解.
【详解】因为，为的一个方向向量，所以点到直线的距离.
故选：B
3、C
【解析】列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案.
【详解】5个数取3个数的所有情况如下：
{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率.
故选：C.
4、D
【解析】根据直线过圆心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】根据题意，直线过点，即，
则，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：D.
5、B
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.
【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项B.由，，则，故正确.
选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.
故选：B
6、D
【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，
，故选D.
7、B
【解析】由题可得，然后结合条件可得，即求.
【详解】设于点，准线交轴于点G，

则，又，
∴，又于点且，
∴BE∥AD，
∴，即，
∴，
∴等于.
故选：B.
8、A
【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.

第II卷
9、A
【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；
则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；
该同学选到物理、地理两门功课的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.
10、B
【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】因为，则，解得.
故选：B.
11、C
【解析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。
【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为
故选：C
【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。
12、C
【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，
由于，
故可设，，
当时，，
，
所以，
所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.
【详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，
∴曲线（）的长度是，
故答案为：.
14、
【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出
【详解】由等差数列的性质可得：
对于任意的都有，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
15、2
【解析】由共线向量得，解方程即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：2
16、
【解析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.
【详解】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.
【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.
(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，
借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.
【小问1详解】
依题意，，而离心率，即，解得，
所以椭圆C的方程为：.
【小问2详解】
由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，
由消去x并整理得：，设，
则有，因，则直线、斜率互为相反数，
于是得：，整理得，即，
则有，即，而m为任意实数，则，
当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，
所以存在点M满足条件，点M的坐标为.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立
一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
18、（1）400（2）
（3）
【解析】（1）根据分层抽样的方法，列出关系式计算即可；
（2）根据分层抽样的方法，求出抽取的女生人数，进而列举出从样本中抽取2人的所有情况，可根据古典概型的概率公式计算即可；
（3）求出样本平均数，进而求出与样本平均数之差的绝对值不超过5的数，从而利于古典概型的概率公式计算即可.
【小问1详解】
设该校总人数为n人，由题意得，
所以，.
【小问2详解】
设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以，解得.
所以抽取了2名女生，3名男生，分别记作，；，，，则从中任取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7个，
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为.
【小问3详解】
样本的平均数为，那么与样本平均数之差的绝对值不超过5的数为94，86，92，87，90，93这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过5的概率为.
19、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据圆心到直线的距离d等于圆的半径r即可求得答案；
（2）由并结合（1）即可求得答案.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径, 若直线与圆相切，则圆心到直线：距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理可得：，
解得：或，则直线的方程为或.
20、 (1)见解析（2）
【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和三棱锥体积的求解的综合问题．培养了同学们的推理论证能力和计算能力
（1）根据已知的条件关键是分析出EF//PA，利用线面平行判定定理得到
（2）根据上一问中的结论可知PM⊥平面ABCD.然后利用转换顶点的思想求解棱锥的体积
解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，
E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，
且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD
（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.
在直角PAM中，求得PM=，∴PM=

21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【小问1详解】
证明：连接DE
因为，且D为AC的中点，所以
因为，且D为AC的中点，所以
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面
因为，所以平面BDE，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设．则，，．从而，
设平面BCE的法向量为，
则令，得
平面ABC的一个法向量为
设二面角为，由图可知为锐角，
则
22、（1）
（2）见解析
【解析】（1）根据准线方程得出抛物线方程；
（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合求解即可.
【小问1详解】

【小问2详解】
设，联立，得
由，得，
假设C上存在点Q，使得直，则
又

即存在点满足条件.