2025-2026学年江苏省沭阳县潼阳中学高二上数学期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省沭阳县潼阳中学高二上数学期末经典模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（ ）
A B.
C. D.
3．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）

A. B.
C. D.
4．将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（）
A. B.
C. D.
5．函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.e
6．是双曲线：上一点，已知，则的值（）
A. B.
C.或 D.
7．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A. B.
C. D.
9．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（）

A. B.
C. D.2
10．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.3
11．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
12．若函数的导函数在区间上是减函数，则函数在区间上的图象可能是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____
14．已知，，且，则的最小值为___________
15．已知数列{}的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，n的值为___________.
16．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为____________.(结果保留)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，G是的中点

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值
18．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.
19．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2= 4x经过点A（1，2），直线l：y= kx+ b与抛物线C交于M，N两点.

（1）若，求直线l的方程；
（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b=mk+n（m，n为常数），求m+2n的值.
21．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点

（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值
22．（10分）已知函数．其中e为然对数的底数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，讨论函数的零点个数
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.
【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是
故选：C
2、D
【解析】根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.
【详解】圆的圆心是，
所以椭圆的一个焦点是，即c=3，
又椭圆的短轴长为8，即b=4，
所以椭圆长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，
故选：D
3、B
【解析】根据空间向量基本定理求解
【详解】由已知
故选：B
4、A
【解析】先根据题意求出曲线C的方程，然后利用点差法求出直线l的斜率，从而可求出直线方程
【详解】设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则
，得，
所以，
所以曲线C的方程为，
设，则
，
两方程相减整理得，
因为AB中点坐标为M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
5、A
【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
6、B
【解析】根据双曲线定义，结合双曲线上的点到焦点的距离的取值范围，即可求解.
【详解】双曲线方程为：，
是双曲线：上一点，，
，或，
又，.
故选：B
7、D
【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,
【详解】直线，即 ，
令 ，解得 ，
即直线过定点 ,
由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，
可知：落在以OA为直径的圆上，
而以OA为直径的圆为，如图示：

故可看作是圆上的点到原点距离的平方，
而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，
但将原点坐标代入直线中，不成立，
即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，
故，
故选：D
8、D
【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，
，故选D.
9、A
【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】因为平面，平面，平面，
所以，，
因为
所以如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，即.
在上的投影向量的长度为，
故点到直线的距离为.
故选：A

10、D
【解析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.
【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，

在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，
由抛物线定义知，，
于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，
所以的最小值为3.
故选：D
11、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.
【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
12、A
【解析】根据导数概念和几何意义判断
【详解】由题意得，图象上某点处的切线斜率随增大而减小，满足要求的只有A
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.
【详解】正方形的面积为，如下图所示：

阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.
【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.
14、25
【解析】根据，，且，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25，
故答案为：25
15、7
【解析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值.
【详解】当，，
解得：，
当和时，，
所以取得最小值时，.
故答案为：7
16、
【解析】由题设知：圆锥的轴截面为等边三角形，进而求圆锥的底面周长，由扇形面积公式求圆锥的侧面积大小.
【详解】由题设，圆锥的轴截面为等边三角形，又圆锥的母线长为2，
∴底面半径为1，则底面周长为，
∴圆锥的侧面积大小为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，线段的中点为H，分别连接，可证，从而可得平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：设，线段的中点为H，分别连接

又因为G是的中点，
所以
因为四边形为矩形，据菱形性质知，O为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：据四边形是菱形的性质知，
又因为平面平面，平面，
平面平面，故平面，
所以以分别为x轴，y轴，以过与的交点O，且垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则有，
所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
设平面的一个法向量，则
令，则，且，所以
所以，
所以二面角的正弦值为
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；
（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.
小问1详解】
由题设，且，故，，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线为，联立椭圆并整理得：，
所以，可得，且，，
所以且，
故当时，.
19、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
20、（1）
（2）3或
【解析】（1）由可得，则可得直线为，设，然后将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系，由可得，三个式子结合可求出，从而可得直线方程，
（2）将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系表示出，再结合直线方程表示出，由AM⊥AN可得，化简结合前面的式子可求出或，从而可可求出的值，进而可求得答案
【小问1详解】
因为A（1，2），，
所以，
则直线为，设，
由，得，
由，得
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
【小问2详解】
设，由，得，
由，得，
则，
所以，
，
因为AM⊥AN，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或
21、（1）证明见解析，直线与平面的距离为
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值
【小问1详解】
解：因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
，，，，
所以，，，
所以，，，又因为，因此，平面.
所以，平面的一个法向量为，
，平面，平面，则平面，
所以，直线到平面的距离为.
【小问2详解】
解：若，则、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.
22、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.
【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；
(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.
【小问1详解】
当时，，易知定义域为R，
，
当时，；
当或时，
故的单调递减区间为，单调递增区间为和；
【小问2详解】

当时，
x

正
0
负
0
正

单增
极大值
单减
极小值
单增
当时，恒成立，
∴；
当时，
①当时，，∴无零点；
②当时，，∴有1个零点；
③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；
综上所述：当时，无零点；
当时，有1个零点；当时，有2个零点
【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用