2025年北京市西城区数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年北京市西城区数学高二第一学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题中正确的是　　
A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B.若命题，是假命题，则实数
C.“”的一个充分不必要条件是“”
D.命题“若，则”的逆否命题为真命题
2．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
3．直线的倾斜角的大小为
A. B.
C. D.
4．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）
A. B.
C. D.
5．设直线的倾斜角为，且，则满足
A. B.
C. D.
6．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（）
A.2 B.4
C. D.
7．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A. B.
C. D.
8．数列中，，，则（　　）
A.32 B.62
C.63 D.64
9．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）
A.2 B.4
C.5 D.25
10．若命题为“，”，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
11．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）
A.2 B.4
C.8 D.16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.
14．已知抛物线：，斜率为且过点的直线与交于，两点，且，其中为坐标原点
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值
15．与圆外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为__________
16． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图

（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；
（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50入中选5人参加一个座谈会,现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：
INPUT x
IF THEN

ELSE
IF THEN

ELSE

END IF
END IF
PRINT y
END
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）求排放污水150吨的污水处理费用.
18．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为4，求的周长
19．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

20．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
21．（12分）设函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为
（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】．命题的否定是同时否定条件和结论；．将当成真命题解出的范围，再取补集即可；．求出“”的充要条件再判断即可；．判断原命题的真假即可
【详解】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则 “，故A错误；
对于B：当命题，是真命题时，，所以，
又因为命题为假命题，所以，故B错误；
对于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：因为命题“若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故D错误；
故选：C
2、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
3、A
【解析】考点：直线的倾斜角
专题：计算题
分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解
解答：解：∵x-y+1=0可化为y=x+，
∴斜率k=
设倾斜角为θ，则tanθ=k=，θ∈[0，π）
∴θ=
故选A
点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握
4、B
【解析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.
【详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.
故选：B.
5、D
【解析】因为，所以，，
，，
故选D
6、C
【解析】由焦点坐标得到，求解即可.
【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得
故选：C.
7、A
【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
8、C
【解析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为；
9、B
【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
则.
故选：B.
10、B
【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“，”的否命题为“，”，
故选：B
11、D
【解析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.
【详解】若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：

则有：，故选项D正确
故选：D
12、A
【解析】直接利用公式计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，由已知，，
所以，解得.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围
【详解】因为，代入解析式可得
分离参数a可得

令（ ）
则，令解得
所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减
当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值
所以h（x）≥h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）min=4
所以a的取值范围为
【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题
14、（1）（2）为定值6
【解析】（1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：，，，，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；
（2）由直线的斜率公式可知：，， ，代入，，即可得到：.
试题解析：
（1）直线的方程为，联立方程组得，
设，，
所以，，
又，
所以，从而抛物线的方程为
（2）因为，，
所以，，
因此
，
又，，
所以，
即为定值
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
15、；
【解析】设所求圆的圆心为，根据两圆外切于原点可知两圆心与原点共线，再根据弦长列出方程组求出即可.
【详解】设所求圆的圆心为，
因为圆的圆心为，与原点连线的斜率为，
又所求圆与已知圆外切于原点，
，①
所以所求圆的半径满足，
又被y轴截得的弦长为8，
②
由①②解得
，
所以圆的方程为.
故答案为：
16、（1）平均时长为，中位数为
（2）在和两组中分别抽取30人和20人，概率
【解析】（1）由频率分布直方图计算平均数，中位数的公式即可求解；
（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，再列举抽取总事件个数，从而利用古典概型概率计算公式即可求解
【小问1详解】
解：（1）设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，
，
被抽查人员利用“学习强国”的时长中位数满足，解得，
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为
【小问2详解】
解：组的人数为人，设抽取的人数为，
组的人数为人，设抽取的人数为，
则，解得，，
所以在和两组中分别抽取30人和20人，
再利用分层抽样从抽取的50入中抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，，，将中的标记为，，
则抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，
故所求概率

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）1400（元）.
【解析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.
【小问1详解】
根据题意，得：
当时，；
当时，；
当时，.
即.
【小问2详解】
因为，故，
故该厂应缴纳污水处理费1400元.
18、（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解
（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，∴.
（2）∵的面积为，∴.
由余弦定理得，∴.
故的周长为.
【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题
19、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题
20、（1）
（2）
【解析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公比为，
因为，，则，
又因为，解得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
解：由，可得，
则，
所以.
21、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；
（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当吋，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当吋，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
【小问2详解】
由题意可知：

在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.
22、（1）椭圆，
（2），证明见解析
【解析】（1）结合椭圆第一定义直接判断即可求出的轨迹为；
（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，写出韦达定理；由中点公式求出点，进而得出直线方程，联立椭圆方程求出，结合弦长公式可求，可转化为，结合韦达定理可化简，进而得证.
【小问1详解】
设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；
【小问2详解】
可以判断出，
下面进行证明：
设直线的方程为，，，
由方程组，得①，
方程①判别式为，由，即，解得且
由①得，，
所以点坐标为，直线方程为，
由方程组，得，，
所以
又

所以.