2026届三明市重点中学数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2026届三明市重点中学数学高二第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）
A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列
B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列
C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列
D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列
2．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3．命题“存在，使得”的否定为（）
A.存在， B.对任意，
C对任意， D.对任意，
4．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
5．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A. B.
C. D.
6．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）
A. B.
C. D.
7．在等差数列中，若，则（）
A.6 B.9
C.11 D.24
8．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
9．若，则（）
A.1 B.0
C. D.
10．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，；若，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）

A. B.
C. D.
12．已知实数，满足，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则___________.
14．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______
15．已知函数，则函数在上的最大值为_______
16．设双曲线C: 的焦点为，点为上一点，，则为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点在（1）中轨迹上运动轴，为垂足，点满足，求点轨迹方程.
18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.
（2）求出y关于x的线性回归方程，试预测加工10个零件需要多少小时?
（注：，）
19．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.

（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
21．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
22．（10分）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求的方程；
（2）过上一动点作的切线交轴于点.判断线段的中垂线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果
【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
2、B
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.
【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项B.由，，则，故正确.
选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.
故选：B
3、D
【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.
【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.
故选：D.
4、D
【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
5、D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间
6、A
【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.
【详解】设，则，
∴R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
7、B
【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解
【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以
故选：B
8、C
【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
9、C
【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.
【详解】，
当且时，，
因此，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.
10、B
【解析】根据题意求得，化简得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】在中，，，，AD为BC边上的高，
可得，
由
又因为，所以，所以.
故选：B.
11、D
【解析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】设正六边形的边长为，则其面积为.
阴影部分面积为，
故所求概率为.
故选：D
12、A
【解析】将化成，即可求出的最小值
【详解】由可化为，所以，解得，因此最小值是
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求导数，代入可得.
【详解】因为
所以，则，故.
故答案为：
14、
【解析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.
【详解】由，，令，
其中m为正整数，有，又为正整数，所以
当时，解得，当时，解得不是正整数，
故答案为：
15、
【解析】利用导数单调性求出的单调性，比较极小值与两端点，的大小求出在上的最大值.
【详解】因为，则，令，即时，函数单调递增.令，即时，函数单调递减.
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值也是函数的最小值.
，两端点为，，即最大值为.
故答案为：.
16、14
【解析】利用双曲线的定义求解即可
【详解】由，得，则，
因为点为上一点，
所以，
因为，所以，
解得或（舍去），
故答案为：14

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据题意用表示出与，再代入，再化简即可得出答案。
（2）设，利用表示出点，再将点代入椭圆，化简即可得出答案。
【详解】（1）由题意知 ，
所以化简得：
（2）设，因为，则
将代入椭圆得
化简得
【点睛】本题考查轨迹方程，一般求某点的轨迹方程，只需要设该点为，利用所给条件建立的关系式，化简即可。属于基础题。
18、（1）见解析；（2），预测加工10个零件大约需要8.05小时
【解析】（1）由题意描点作出散点图；
（2）根据题中的公式分别求和，即得，令代入求出的值即可.
【详解】（1）散点图

（2），，，
∴，，
∴回归直线方程：，
令，得，
∴预测加工10个零件大约需要8.05小时.
【点睛】本题主要考查了散点图，利用最小二乘法求线性回归方程，考查了学生基本作图能力和运算求解能力.
19、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）

20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
【小问2详解】
过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
则，
所以
设
因为平面，所以
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，
所以，解得，
所以，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为

21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意求出首项和公比即可得出通项公式；
（2）可得是等差数列，利用等差数列前n项和公式即可求出.
【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，
由题意得，解得，
因此，；
（2），
则，
所以，数列是等差数列，首项，
记数列前项和为，
则.
22、（1）
（2）过定点，定点为
【解析】（1）利用抛物线的定义求解；
（2）设直线的方程为，，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线C相切，由求得，再得到，写出线段的中垂线方程求解.
【小问1详解】
解：由题意得，，
解得=2p，
因为点M（，4）在抛物线C上，
所以42=2p=4p2，
解得p=2，
所以抛物线C的标准方程为.
【小问2详解】
由已知得，直线的斜率存在且不为0，
所以设直线的方程为，
与抛物线方程联立并消去得：，
因为直线与抛物线C相切，
所以，得，，
所以，得，
在中，令得，
所以，
所以线段中点为，
线段的中垂线方程为，
所以线段的中垂线过定点.