林芝2025-2026学年高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

林芝2025-2026学年高二数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的最小值为（）
A. B.1
C.2 D.e
2．已知一组数据为：2，4，6，8，这4个数的方差为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
3．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.12 B.18
C.21 D.27
4．在中，内角所对的边为，若，，，则（）
A. B.
C. D.
5．公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（ ）
A.的最大值为
B.
C.最大值为
D.
6．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ）
A.30尺 B.40尺
C.6尺 D.60尺
7．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）
A.或 B.
C. D.或
8．抛物线的焦点是
A. B.
C. D.
9．在空间直角坐标系中，方程所表示的图形是（）
A圆 B.椭圆
C.双曲线 D.球
10．过点且垂直于的直线方程为（）
A. B.
C. D.
11．给出下列四个说法，其中正确的是
A.命题“若，则”的否命题是“若，则”
B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件
C.命题“，”的否定是“，”
D.命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题
12．设函数，则（）
A.4 B.5
C.6 D.7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：

①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；
②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；
③存在点M，使得三棱锥体积为；
④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角
则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）
14．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
15．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条
16．抛物线焦点坐标是，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点在轴上.设，等腰梯的面积为.

（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积.
18．（12分）已知三角形的三个顶点是，，
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程
19．（12分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围
20．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.
21．（12分）如图，底面是矩形的直棱柱中，；

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值
【详解】化简可得：
令，故的最小值即为的最小值
，是关于的单调递增函数，易知
对求导可得：
当时，单调递减；
当时，单调递增
则有：
故选：B
2、B
【解析】根据数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由平均数的计算公式，可得，
所以这4个数的方差为
故选：B.
3、B
【解析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.
【详解】因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，
所以，
即 ，解得=18，
故选：B.
4、B
【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.
【详解】，，
由余弦定理得：，，.
故选：B.
5、A
【解析】根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.
【详解】根据题意，等比数列满足条件，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；
因为，，，
所以 ，，，
则，，
数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，
因此是数列中的最大值，故选项A正确
由等比数列的性质，，故选项B不正确；
而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；
故选：A
6、A
【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.
【详解】由题女子织布数成等差数列，设第日织布为，有，所以
，
故选:A.
7、A
【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可
【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，
当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,
当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，
故选：A
8、D
【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.
【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.
9、D
【解析】方程表示空间中的点到坐标原点的距离为2，从而可知图形的形状
【详解】由，得，
表示空间中的点到坐标原点的距离为2，
所以方程所表示的图形是以原点为球心，2为半径的球，
故选：D
10、B
【解析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.
【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，
于是有：，即，
所以所求直线方程为.
故选：B
11、D
【解析】A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；
B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；
C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；
D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.
【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；
双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；
命题“，”的否定是“，”， 所以C选项不正确；
命题“在中，若，则是锐角三角形”， 在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.
故选：D
【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.
12、D
【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.
【详解】,
故，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②③
【解析】对①：由连接，，由平面，即可判断；对③：设到平面的距离为，则，所以即可判断；对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求出与，比较大小即可判断；对②：设与平面夹角为，利用向量法求出，即可求解判断.
【详解】解：对①：连接，，在正方体中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①错误；
对③：设到平面的距离为，则，所以，故③正确；
对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，

，，
设平面的法向量为，，，则，即，
取，，，又，1，是平面的一个法向量，
又二面角为锐二面角或直角，
所以，
，
，又，
，，故④错误
对②：由④的解析知，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设与平面夹角为，令，即，又，解得或，故②正确.
故答案为：②③.
14、或
【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线方程为:；
（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
15、4
【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.
【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，
因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，
过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，
同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，
故答案为：4.

16、2
【解析】根据抛物线的几何性质直接求解可得.
【详解】的焦点坐标为
，即.
故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）当时取到最大值，
【解析】（1）设点，则根据题意得，，故；
（2）令，研究函数的单调性，进而得的最值，进而得的最大值.
【详解】解：（1）根据题意，设点，
由是曲线上的动点得：，
由于椭圆与轴交点为，故，
所以
即：
（2）结合（1），对两边平方得：
，
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间单调递增，在上单调递减，
所以在处取到最大值，，
所以当时，取到最大值，.
【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题.
18、（1）；（2）
【解析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；
（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.
【详解】（1）设线段的中点为
因为，，
所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，
即
（2）因为，，
所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
即
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；
（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可.
【小问1详解】
时，，
，则，，
所以在点处的切线方程为，即
【小问2详解】
对任意的，恒成立，
即，对任意的，
令，即，
则，
因为，，
所以当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
则，所以
20、（1）动点的轨迹的方程为；
（2）的取值范围.
【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.
【小问1详解】
由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
【小问2详解】

故
即.
设：，
联立
（*），，
∴ ，，
又
则：
即

若，则过，不符合题意
故，∴
，
故

21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过证明和可得答案；
（2）连接，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中计算即可.
【小问1详解】
棱柱为直棱柱，
面，又面
，
又直棱柱的底面是矩形，
，又，平面，平面，
平面；
【小问2详解】
连接，
面，
则为直线与平面所成角的平面角

在直角三角形中，
则，，
所以直线与平面所成角的大小为.
22、（1）.
（2）8.
【解析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.
（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.
【小问1详解】
当l与抛物线的对称轴垂直时，，，
则代入抛物线方程得，
所以抛物线方程是
【小问2详解】
设点，，直线AB方程为，
联立抛物线整理得：，
，
∴，，
有，由A在第一象限，则，即，
∴，可得
，
又O到AB的距离，
∴，而，
∴，
，
当，，单调递减；
，，单调递增；
∴的最小值为,此时，.