河南省沁阳市第一中学2025年数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

河南省沁阳市第一中学2025年数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
2．（文科）已知点为曲线上的动点,为圆上的动点,则的最小值是
A.3 B.5
C. D.
3．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）

A.2m B.3m
C.4m D.5m
4．圆的圆心到直线的距离为2，则（）
A. B.
C. D.2
5．散点图上有5组数据：据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）
A.54.2 B.87.64
C.271 D.438.2
6．圆上到直线的距离为的点共有
A.个 B.个
C.个 D.个
7．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（）
A.与互为对立事件 B.与互斥
C与相等 D.
8．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
9．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）
A.一定单调递减 B.一定单调递增
C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠1
10．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）
A.50% B.30%
C.10% D.60%
11．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
12．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线，则的准线方程为______.
14．已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为______
15．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______
16．已知点是抛物线上的两点，，点是抛物线的焦点，若，则的值为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论的零点个数.
18．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间x/分
10
11
12
13
14
15
等候人数y/人
23
25
26
29
28
31
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.
（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程= x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线= x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
19．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

20．（12分）在平面直角坐标系中，△的三个顶点分别是点.
（1）求△的外接圆O的标准方程；
（2）过点作直线平行于直线，判断直线与圆O的位置关系，并说明理由.
21．（12分）已知等差数列中，
（1）分别求数列的通项公式和前项和；
（2）设，求
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求异面直线与所成角余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角大小为?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.
【详解】对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
2、A
【解析】数形结合分析可得,当时能够取得的最小值,根据点到圆心的距离减去半径求解即可.
【详解】由对勾函数的性质,可知,当且仅当时取等号,
结合图象可知当A点运动到时能使点到圆心的距离最小,
最小为4,从而的最小值为.

故选：A
【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题,考查转化思想与数形结合思想,属于中档题.
3、C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.
【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，
设抛物线的方程为，
由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，
所以抛物线的方程为，
当时，，所以.
故选：C.

4、B
【解析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算
【详解】圆的标准方程是，圆心为，
∴，解得
故选：B.
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题
5、C
【解析】通过样本中心点来求得正确答案.
【详解】，故，
则，
故.
故选：C
6、C
【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆可变为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
圆上到直线的距离为的点共有个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
7、D
【解析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，，
所以ABC错误，D正确，
故选：D
8、A
【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得
【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，
则有，，，
所以
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为
故选：A

9、D
【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.
【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，
所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；
由0＜q＜1，＜0知，
所以，故一定单调递减，故A正确；
因为当时，，，所以，即-，当时，
，综上，故C正确；
若=，且k≠1，则，即，因为，故，
故矛盾，所以D不正确.
故选：D
10、A
【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.
【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，
甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，
所以甲、乙两人下成平局的概率为.
故选：A.
11、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
12、A
【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据抛物线的方程求出的值即得解.
【详解】解：因为抛物线，所以，
所以的准线方程为.
故答案为：
14、2
【解析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可
方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可
【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上， x， ，，
从而
故答案为2
方法二：，
而，则答案2
故答案为2
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力
15、-2
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.
【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径
圆C与直线相交于、两点,且，
由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，
由点到直线距离公式得，
所以，解得，
故答案为：.
16、10
【解析】由抛物线的定义根据题意可知求得p,代入抛物线方程,分别求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值
【详解】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，故填.
【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，利用已知相等关系求解抛物线方程，然后求解已知点的纵坐标，解题中需要熟练抛物的定义和性质，灵活应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间是和，单调递减区间是
（2）时， 有1个零点；
或时， 有2个零点；
时，有3个零点.
【解析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；
（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.
【详解】（1）因为，所以
由，得或；由，得.
故单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.
①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；
④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.
18、（1），是“恰当回归方程”；
（2）10分钟较合适.
【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.
（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.
【小问1详解】
中间4组数据是：
间隔时间（分钟）
11
12
13
14
等候人数（人）
25
26
29
28
因为，
所以，故，
又，所以，
当时，，而；
当时，，而；
所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程” ；
【小问2详解】
由（1）知：当时，，
所以预测车辆发车间隔时间10分钟较合适.
19、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题
20、（1）；
（2）直线与圆O相切，理由见解析.
【解析】（1）法1：设外接圆为，由点在圆上，将其代入方程求参数，即可得圆的方程；法2：利用斜率的两点式易得，则是△外接圆的直径，进而求圆心坐标、半径，即可得圆的标准方程.
（2）由题设有直线垂直于x轴，根据直线平行于直线及所过的点写出直线l的方程，求圆O的圆心与直线距离，并与半径比大小，即可确定它们的位置关系.
【小问1详解】
法1：设过三点的圆的方程为，
则，解得，
所求圆的方程为，即.
法2：因，
所以，则是△外接圆的直径，圆心，
所以所求圆的方程为.
【小问2详解】
因为，则直线垂直于x轴，
所以直线的方程为，
由（1）知：圆心到直线的距离，
所以直线与圆O相切.
21、（1），
（2）
【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出数列的通项公式；
（2）通过（1）判断符号，进而分和两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
解：设数列的公差为,
，，
，
【小问2详解】
解：由（1）可知，，当时，，当时，，
所以当时，，
当时，

所以.
22、（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，点在线段上位于靠近点的四等分点处.
【解析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值；
（3）假设存在点，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：，，为的中点，则且，
四边形为平行四边形，.
，即，，
又平面平面，平面平面，平面，平面
平面，平面平面.
【小问2详解】
解：，为的中点，.
平面平面，且平面平面，平面，
平面.
如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
，
，则，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
【小问3详解】
解：假设存在点，设，其中，
所以，，且，
设平面法向量为，所以，
令，可得，
由（2）知平面的一个法向量为，
二面角为，则，
整理可得，因，解得.
故存在点，且点在线段上位于靠近点的四等分点处.