河北省涉县第二中学中一年级2025-2026学年高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

河北省涉县第二中学中一年级2025-2026学年高二数学第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ）

A.9cm B.6cm
C.3cm D.4.5cm
2．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）

A.3 B.4
C.5 D.6
3．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
4．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
5．已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（　　）
A. B.0
C. D.
6．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
7．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
A.4 B.3
C.2 D.1
8．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（）
A.4 B.6
C. D.
9．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
10．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
11．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为
A 5 B.10
C.20 D.40
12．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________
14．抛物线的焦点到准线的距离等于__________.
15．已知，，且，则的值是_________.
16．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF
18．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积
19．（12分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.
20．（12分）已知数列的前项和为，若.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）已知椭圆C：（）过点，且离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由
22．（10分）已知，p：，q：
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出
【详解】由题意可得，，解得．故选：A
2、A
【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
3、D
【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
4、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

5、A
【解析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论
【详解】由题设，，
所以，
函数在x＝π处瞬时变化率为，
故选：A
6、D
【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
7、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
8、C
【解析】由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C

9、D
【解析】利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出.解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D
考点：古典概型
点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题
10、C
【解析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
11、B
【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.
【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，
又二项展开式的通项为=，，
所以二项展开式中的系数为．答案选择B
【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题
12、D
【解析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以，所以，故A错误；
又，所以，所以，
所以，故BC错误；
所以，故D正确.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.
【详解】当时，有
当时，由 ①
有 ②
由①－②得：
所以，当时也成立.
所以,故
则
由，即，所以
所以，由
所以
故答案为：
【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.
14、
【解析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
【详解】因为抛物线方程是，
转化为标准方程得：，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标 准线方程为：，
所以焦点到准线的距离等于.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
15、
【解析】根据空间向量可得，结合计算即可.
【详解】由题意知，，
所以，解得.
故答案：3
16、
【解析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解
【详解】定义在R上的函数的导函数，
在R上单调递增，
由，得，即
实数的取值范围为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)(2)见解析.
【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱锥 的体积；（2）由平面 ，证得和 ，由此利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.
试题解析：（1）在中，.
在中,

.
则.
（2）， 为的中点， .
平面.
平面 .
为 中点，为 为中点，，则.
平面.
考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，，从而可得，由椭圆的定义即可求解；
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.
【小问1详解】
解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，
由题意，，所以，
由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，所以，
所以动圆圆心的轨迹的方程为；
【小问2详解】
解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，
由，可得，
所以①，②，且，即，
因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，
所以，即③，
联立①②③可得，所以，
因为到直线AB的距离，，
所以，
所以当时，，当时，.
所以的面积为或.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.
(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.
【小问1详解】
在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
因E为棱上的动点，则设，，而，
，即，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，点，，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
显然有，则，而平面，因此，平面，
于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以直线BE到平面的距离是.
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2) 根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和
【小问1详解】
当时，，解得；
当时，，∴，化简得，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，
因此的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，∴，
∴
，

∴
21、（1）
（2）为定值
【解析】（1）由题意可得解方程组求出，从而可得椭圆方程，
（2）设直线AB：，，代入椭圆方程，消去，利用根与系数关系，再表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，从而可表示出，然后化简可得结论
【小问1详解】
由题意得解得
故椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设直线AB：，，联立
消去y得，
设，，得，，
因为点C与点B关于x轴对称，所以，
所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，
令，解得
可得，所以，
因为，
所以，
所以为定值
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线AB的方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数关系，结合已知条件表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，考查计算能力，属于中档题
22、（1）（2）或
【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；
（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于 与一真一假，分两种情况列式可得结果.
【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，
所以，所以，解得.
（2），当时，，
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，
当真时，假，所以，此不等式组无解；
当真时，假，所以，解得或.
综上所述：实数x的取值范围是或.
【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含