文昌中学2025年高二上数学期末达标测试试题含解析.doc

文昌中学2025年高二上数学期末达标测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（）
A.3 B.6
C.9 D.
2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
3．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．下列命题错误的是()
A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B.命题“若，则”的否命题为“若，则”
C.若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件
D.“ ”是“”的充分不必要条件
5．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A.(－∞，0) B.
C.(0,1) D.(0，＋∞)
6．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（）

A. B.
C. D.
7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为 （ ）
A. B.
C. D.
8．设,,,则,,大小关系为
A. B.
C. D.
9．已知直线与垂直，则为（ ）
A.2 B.
C.-2 D.
10．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）

A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上
C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上
11．已知双曲线的右焦点为F，则点F到其一条渐近线的距离为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
12．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）
A.（0，1） B.（1，0）
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
14．过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.
15．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.
16．抛物线的准线方程是，则实数___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是递增的等比数列，满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
18．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程
19．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
20．（12分）已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线.
21．（12分）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据双曲线的渐近线求得的值.
【详解】依题意可知，
双曲线的渐近线为，
所以.
故选：C
2、D
【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
3、D
【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.
【详解】由题意，，所以在第四象限.
故选：D.
4、C
【解析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.
【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；
或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：C.
5、B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点
则实数a的取值范围是（0，）
故选B

6、D
【解析】由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论
【详解】由题意，则，即，由圆方程知，
设，，则，，
又，两式相减得，
所以，
直线方程为，即
故选：D
7、A
【解析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.
【详解】设椭圆方程，
所以，设，
所以，所以，
在椭圆上，
所以，.
故选：A
8、C
【解析】由,可得,,故选C.
考点：指数函数性质
9、A
【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.
【详解】因为直线与垂直
，

故选：A.
10、C
【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.
【详解】因为，
所以椭圆M中，
因为，,
,,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C
11、A
【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标，再写一渐近线方程，根据点到直线的距离公式可得答案.
【详解】双曲线的右焦点F坐标为，
根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，
故点F到渐近线的距离为 ，
故选：A
12、C
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.
【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：
14、
【解析】已知圆的圆心，点在以为直径的圆上，两圆相减就是直线的方程.
【详解】，圆心，
点在以为直径的圆上，，所以圆心是，
以为直径的圆的圆的方程是，
直线是两圆相交的公共弦所在直线，所以两圆相减就是直线的方程，
，
所以直线的一般式方程为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：过圆外一点引圆的切线，那么以圆心和圆外一点连线段为直径的圆与已知圆相减，就是切点所在直线方程，或是两圆相交，两圆相减，就是公共弦所在直线方程.
15、
【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可
【详解】由中点坐标公式可得，的中点为，
可得直线的斜率为，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，
故可得所求直线的方程为：，
化为一般式可得
故答案为：
16、##
【解析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式；
（2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，所以有，，
联立两式解得或
又因为数列是递增的等比数列，所以，所以
数列的通项公式为；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴
18、（1）
（2）
【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.
（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.
【小问1详解】
.
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设圆的标准方程为，
则，
所以圆的标准方程为.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由和，联立求解；
（2）由（1）易得直线：，直线：，，分别与x=t联立，求得M，N坐标，设，利用，得到，然后两边乘以，结合点P在椭圆上化简得到即可，
【详解】（1）在椭圆中，，，，
则，，
由题意得：，又，
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，，，则直线：，
直线：，由题意，，
联立，同理联立，
设，则①，
且点满足：，即，
两边乘以，可得：，
代入①得：，
而，
则，所以，，三点共线.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求解方程组，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果.
（2）对数列中项的正负情况进行讨论，再结合等差数列的前项和公式，即可求出结果.
【小问1详解】
解：设的公差为d，因为，，
所以解得
故.
【小问2详解】
解：设的前项和为，则.
当时，，
所以
所以；
当时，

.
所以.
22、（1）2；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；
（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.
【小问1详解】
解：由题意得，
由正弦定理得：，
即，
即，
因为，
所以
【小问2详解】
解：由余弦定理，即，
由基本不等式得：，即，
当且仅当时取得等号，
，
所以面积的最大值为