石嘴山市第三中学2025-2026学年高二上数学期末经典模拟试题含解析.doc

石嘴山市第三中学2025-2026学年高二上数学期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的左焦点为，，为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
2．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）
A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是
C. D.与是共线向量
3．若，满足约束条件则的最大值是
A.-8 B.-3
C.0 D.1
4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A. B.
C. D.
5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
6．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（ ）

①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆
③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆
④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线
A.1 B.2
C.3 D.4
7．若，则（　　）
A B.
C. D.
8．变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（）

4
5
6
7

8.2
7.8
6.6
5.4
A. B.
C. D.
9．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
10．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是
A.
B.
C.
D.
11．如图，在正方体中，（）

A. B.
C. D.
12．若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等差数列中，前n项和记作，若，则______
14．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱、的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为___________.

15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是________
16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.
18．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的线性回归方程为
（1）试预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益；
（2）试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱（，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强）；
（3）若这批设备有两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加万元.求这批设备增加的生产成本的期望
参考数据：，
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.
20．（12分）已知向量，，且.
（1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围.
21．（12分）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，数列是等差数列，其前项和为.已知，，，_____________.
（1）请写出你选择条件的序号____________；并求数列和的通项公式；
（2）求和.
22．（10分）已知双曲线C：( a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由双曲线的渐近线方程和两点的距离公式，求得点的坐标和，在中，利用余弦定理，求得的关系式，再由离心率公式，计算即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，
设在渐近线上，且点在第一象限内，
由，解得，即点，
所以，
在中，由余弦定理可得
，可得，即，
所以双曲线离心率为.
故选：C.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2、A
【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】因为，，，故可得，
因为，故，不平行，则D错误；
对A：不妨记向量为，则，
又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；
对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；
对C：因为，故可得，故C错误；
故选：A.
3、C
【解析】作出可行域，把变形为，平移直线过点时，最大.
【详解】作出可行域如图：

由得：，
作出直线，
平移直线过点时，.
故选C.
【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题，属于中档题.
4、C
【解析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
5、D
【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
6、C
【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.
【详解】若点P总满足，又，，，可得对角面，因此点P的轨迹是直线，故①正确
若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是以点B为圆心，以1为半径的圆（在平面内），因此圆的周长为，故②正确
点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1，又，则动点P的轨迹是线段BC，因此③不正确
点P到平面的距离（即到直线的距离）与到直线CD的距离（即到点C的距离）相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线（在平面内），因此④正确
故有①②④三个
故选:C
7、D
【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D
8、C
【解析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.
【详解】解：，，
所以样本点中心：，
线性回归方程过样本点中心，则
解得：，
故选：C
【点睛】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.
9、C
【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.
【详解】解：抛物线的焦点，
设直线为，
则，整理得，
则，.
由可得，
代入上式即可得，
所以，整理得：.
故选：C.
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.
10、C
【解析】1=12，
2+3+4=32，
3+4+5+6+7=52，
4+5+6+7+8+9+10=72，
…，
由上述式子可以归纳：
左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n，则最后一项为3n-2
右边均为2n-1的平方
故选C
点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）
11、B
【解析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.
【详解】∵，而，

∴，
故选：B
12、A
【解析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择.
【详解】若直线的倾斜角为，则，当时，为钝角，当，，当，为锐角；当不存在时，倾斜角为，
对A：，显然倾斜角为钝角；对B：，倾斜角为锐角；
对C：，倾斜角为锐角；对D：不存在，此时倾斜角为直角.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、16
【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；
故答案为：
14、
【解析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系，则，设，球心，得到外接球半径关于的函数关系，求出的最小值，即可得到答案；
【详解】解：以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.
则，设，球心，
，又.
联立以上两式，得，所以时，，为最小值，
外接球表面积最小值为.
故答案为：.
15、①②
【解析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.
【详解】①:由于曲线，
当时，；
当时，；
当时，；
由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，
故曲线恰好经过6个整点：

,,,,,,所以①正确；
②:由图知，到原点距离的最大值是在时，
由基本不等式，当时，，
所以即，所以②正确；
③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；
故答案为：①②.
【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.
16、
【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出
【详解】由等差数列的性质可得：
对于任意的都有，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线的定义可得结论；
（2）设，得PA的两点式方程为，由在抛物线上，化简直线方程为，然后由圆心到切线的距离等于半径得出的关系式，并利用得出点满足的等式，同理设得方程，最后由直线方程的定义可得直线方程
【小问1详解】
由题意得动点M到点的距离等于到直线的距离，
所以曲线C是以为焦点，为准线的抛物线.
设，则，于是C的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，设，
PA的两点式方程为.
由，，可得.
因为PA与D相切，所以，整理得.
因为，可得.
设，同理可得
于是直线AB的方程为.
18、（1）当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【解析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，成立，所以符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
19、（1）元；
（2）使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强；
（3）0.13万元.
【解析】（1）直接把代入线性回归方程即得解；
（2）先求出，再代公式求出相关系数比较即得解；
（3）设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5，求出对应的概率即得解.
小问1详解】
解：当时，.
所以预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益为元.
【小问2详解】
解：由题得，
所以，
所以.
因为，所以与线性相关性很强.
所以使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强.
【小问3详解】
解：设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5
P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，
P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，
P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，
P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006
所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（万元），
所以这批设备增加的生产成本的期望为0.13万元.
20、（1）+y2=1；（2）.
【解析】（1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程；
（2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量关系，结合即可求m的范围.
【详解】(1)∵，即，
∴，即有x2+3y2=3，
即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.
∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0 ①，且x1+x2=，x1x2=.
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点N(x0,y0)，则.
∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0，
∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1 ②，而3k2>0，有m>.
将②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，
∴m的取值范围为.
【点睛】思路点睛：
1、由向量垂直，结合其坐标表示得到关于x，y的方程，写出曲线C的标准方程即可.
2、由直线与曲线C相交，联立方程有，由|AP|=|AQ|得直线的垂直关系，即斜率之积为-1，进而可求参数的范围.
21、（1）选①，，；选②，，；选③，，；
（2），
【解析】（1）选条件①根据等比数列列出方程求出公比得通项公式，再由等差数列列出方程求出首项与公差可得通项公式，选②③与①相同的方法求数列的通项公式;
（2）根据等比数列、等差数列的求和公式解计算即可.
【小问1详解】
选条件① ：设等比数列的公比为q，，
，解得或，，，.
设等差数列的公差为d，，
，
解得，，
.
选条件② ：设等比数列的公比为q，，
，解得或，，，
.
设等差数列的公差为，，
，解得，，

选条件③ ：设等比数列的公比为，
，
，解得或，，，
.
设等差数列的公差为，，
，解得，

【小问2详解】
由（1）知，
，

22、（1）；
（2）
【解析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值
【小问1详解】
由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
【小问2详解】
由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，