安徽省安庆市潜山第二中学2026届高二上数学期末联考模拟试题含解析.doc

安徽省安庆市潜山第二中学2026届高二上数学期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.0 B.1
C.4 D.0或4
2．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）

A.极差 B.方差
C.平均数 D.中位数
3．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A. B.
C. D.
4．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）

A. B.3
C. D.
5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
6．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A. B.
C. D.
7．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
8．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（）

A. B.
C. D.
9．已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（）
A.3 B.6
C.9 D.
10．已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
11．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）
A.101 B.99
C.95 D.91
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.
14．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______
15．已知数列的前项和则____________________
16．函数在处的切线方程是_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长
18．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B
（1）求集合A，B；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围
19．（12分）甲、乙等6个班级参加学校组织广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望
20．（12分）已知函数，.
（1）令，求函数的零点；
（2）令，求函数的最小值.
21．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动

（1）证明：；
（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）等于何值时，二面角的大小为？
22．（10分）已知椭圆，其焦点为，，离心率为，若点满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的重心满足：，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
故选：A.
2、C
【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.
【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；
甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；
甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；
甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；
故选：C.
3、C
【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性
4、C
【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.
【详解】如示意图，

由题意，，则，
又，，所以，
所以.
故选：C.
5、C
【解析】先利用序列的所有项都是1，得到，整理后得到是等比数列，进而求出公比和首项，从而求出和，利用，列出不等式，求出，从而得到的最小值
【详解】因为，，所以，
又序列的所有项都是1，所以它的第项，所以，
所以数列是等比数列，又，，所以公比，.
所以，，
，要，即，
即，所以，所以，，所以最小值为4.
故选：C.
6、C
【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【详解】由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
7、A
【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为
故选：A
8、D
【解析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.
【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，
依题意可得，则，即双曲线的方程为.
因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.
故选：D.

9、C
【解析】根据双曲线的渐近线求得的值.
【详解】依题意可知，
双曲线的渐近线为，
所以.
故选：C
10、B
【解析】连接，得到，作，求得，利用椭圆的定义，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解椭圆的离心率.
【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，
过点作，可得，且，
由椭圆的定义，可得，所以，
在直角中，可得，即，
整理得，
两侧同除，可得，解得或，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11、B
【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.
【详解】设是中点，

.
故选：B

12、C
【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.
【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，

设，，则，
∴，∴.
故答案为：2.
14、 ①. ②.
【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.
【详解】设等差数列公差为d，
，
，
；
∵，
∴.
故答案为：；.
15、
【解析】根据数列中与的关系，即可求出通项公式.
【详解】当时，，
当时，

，
时，也适合，
综上，，（），
故答案为：
【点睛】本题主要考查了数列前n项和与通项间的关系，属于容易题.
16、
【解析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.
【详解】因为，则，，，
故在处的切线方程是，整理得：.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.
【解析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.
（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，

且平面平面，
因为⊥，且平面
所以⊥平面
因为平面，
所以⊥.
（Ⅱ）解：在△中，因为，，，
所以，所以⊥.
所以，建立空间直角坐标系，如图所示
所以，，，
，，
，.
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则， 即，
令，则.
设二面角的平面角为，可知为锐角，
则，
即二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，
因为，
所以，.
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以
所以，所以.
18、（1），
（2）
【解析】（1）直接解不等式即可，
（2）由题意可得Ü，从而可得解不等式组可求得答案
【小问1详解】
由，得，故
由，得，
故
【小问2详解】
依题意得：Ü，
∴解得
∴m的取值范围为
19、（1）
（2）
X
0
1
2
3
4
p

期望为.
【解析】（1）求出甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率，进而求出答案；（2）求出X的可能取值及相应的概率，写出分布列，求出期望值.
【小问1详解】
由题意得：甲、乙两班级的出场序号中均为偶数的概率为，故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
【小问2详解】
X的可能取值为0,1,2,3,4
，，，，
故分布列为：
X
0
1
2
3
4
p

数学期望为
20、（1）答案见解析（2）答案见解析
【解析】（1）函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解，再对a分类讨论，即得函数的零点；（2）令，可得，得，再对二次函数的对称轴分三种情况讨论得解.
【详解】（1）由，可知函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解；
当时,方程可化为，得，由函数单调递增，且值域为，有下列几种情况如下:
①当时，方程没有根，可得函数只有一个零点；
②当时，方程的根为，可得函数只有一个零点；
③当且时，方程的根为，由，可得函数有两个零点和；
由上知，当或时，函数的零点为；当且时，数的零点为和.
（2）令，可得，由，，可得，二次函数的对称轴为，
①当时，即，此时函数的最小值为；
②当时，即，此时函数的最小值为；
③当，即，此时函数最小值为.
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数对数函数的图象，考查函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.
（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.
（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.
【小问1详解】
由题设，连接、，又长方体中，

∴为正方形，即，
又面，面，即，
∵，面，
∴面，而面，即.
【小问2详解】
连接，由E为棱的中点，则，

∴，又，故，
∴，
又，，故，则，
由，若到面的距离为，又，，
∴，可得，又，
∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.
【小问3详解】
二面角大小为，即二面角为，
由长方体性质知：面，面，则，
过作于，连接，又，
∴面，则二面角平面角为，

∴，令，则，故，
而，，
∴，
∴，整理得，解得.
∴时，二面角的大小为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）运用椭圆的离心率公式，结合椭圆的定义可得在椭圆上，代入椭圆方程，求出，，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用根与系数之间的关系、以及向量数量积的坐标表示进行求解即可.
【小问1详解】
依题意得，
点，满足，
可得在椭圆上，可得：
，
且，
解得，，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
设，，，，，，
当 时， ，此时A,B关于y轴对称，则重心为 ，
由得： ，
则 ，此时与椭圆不会有两交点，故不合题意，故 ；
联立与椭圆方程,可得，
可得，化为，
，，①，
设的重心，
由，可得②
由重心公式可得，代入②式，
整理可得可得③
①式代入③式并整理得,
则，
，令，则，
可得，
，，.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键.