2025年陕西省榆林市第十二中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025年陕西省榆林市第十二中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）
A.5 B.3
C.9 D.25
2．已知，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
3．在等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）
A. B.
C. D.
5．是等差数列，且，，则的值（）
A. B.
C. D.
6．命题的否定是（）
A. B.
C. D.
7．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
8．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
9．在数列中，，则（）
A.2 B.
C. D.
10．圆与圆的位置关系为（）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
11．数列中，，，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
12．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________
14．如图，AD与BC是三棱锥中互相垂直的棱，，（c为常数）.若，则实数的取值范围为__________.

15．若函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,则a的值为_____
16．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；
（2）在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，直线
（1）求证：直线与圆恒有两个交点；
（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围
18．（12分）某公司有员工人，对他们进行年龄和学历情况调查，其结果如下：

现从这名员工中随机抽取一人，设“抽取的人具有本科学历”，“抽取的人年龄在岁以下”，试求：
（1）；
（2）；
（3）.
19．（12分）已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
20．（12分）2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中

（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；
（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率
21．（12分）已知：，有，：方程表示经过第二、三象限的抛物线，.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围.
22．（10分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系

（1）求新桥BC的长度；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.
【详解】∵椭圆的一个焦点是，
∴，
∴，
故选：A
2、B
【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.
【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故选B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.
3、B
【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.
【详解】在等差数列中，设公差为d，
由，，得，解得.
故选：B
4、D
【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.
故选：D
5、B
【解析】根据等差数列的性质计算
【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，
所以
故选：B
6、C
【解析】根据含全称量词命题的否定可写出结果.
【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是.
故选：C
7、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
8、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质
9、D
【解析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.
【详解】由题意得，令，可得，
令，可得，
令，可得，
令，可得.
故选：D
10、A
【解析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.
【详解】由，
该圆的圆心为，半径为.
圆圆心为，半径为，
因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，
所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，
故选：A
11、C
【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.
【详解】∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得.
故选：C.
12、A
【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.
【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，

所求概率.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设过点的圆的切线为，分类讨论求得直线分别与圆的切线，求得直线的方程，从而得到直线与轴、轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.
【详解】设过点的圆的切线分别为，即，
当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；
当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，此时直线与圆相切于点，
因此，直线的斜率为，直线的方程为，
所以直线交轴交于点，交于轴于点，
椭圆的右焦点为，上顶点为，
所以，可得，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
14、
【解析】分析得都在以为焦点的椭球上，再利用椭球的性质得到，化简即得解.
【详解】解：因为，
所以都在以为焦点椭球上，
由椭球的性质得，是垂直椭球焦点所在直线的弦，的最大值为,此时共面且过中点，
即
故实数的取值范围为.
故答案为：
15、a＝3
【解析】对函数进行求导,分类讨论函数单调性,根据单调性结合已知可以求出a的值.
【详解】∵函数在（0，+∞）内有且只有一个零点,
∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），
①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增,f（0）＝1，
f（x）在（0，+∞）上没有零点,舍去；
②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，
∴f（x）在（0,）上递减,在（,+∞）递增，
又f（x）只有一个零点,
∴f（）1＝0，解得a＝3
故答案为：a＝3
【点睛】本题考查了利用导数研究已知函数的零点求参数取值问题,考查了分类讨论和数学运算能力.
16、（1）众数；平均数，中位数.
（2）.
【解析】（1）按“众数，平均数，中位数”的公式求解.
（2）由频率分布直方图得到各区间的频率，再用古典概型求解.
【小问1详解】
众数取频率分布直方图中最高矩形对应区间的中点75；
平均数；
因为，
所以中位数在区间上，且中位数
【小问2详解】
由频率分布直方图得出在区间[40，50）和[90，100]内的成绩样本数据分别有4个和2个，从6个样本选2个共有个结果，
记事件A=“调查对象来自不同分组”，结果有
所以.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果
（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.
【小问1详解】
证明：由于直线，即
令，解得，
所以恒过点，所以，
所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；
【小问2详解】
解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，
由圆的半径，所以的最大值为；
当和过的直径垂直时，取最小值，
此时圆心到的距离，
所以，故的最小值为
综上，的取值范围.
18、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；
（2）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得；
（3）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：由表格中的数据可得.
【小问2详解】
解：由表格中的数据可得，所以.
【小问3详解】
解：可知即岁以下且专科学历，所以.
19、（1）时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）.
【解析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.
【详解】解:（1）函数定义域是，
，
当时，，函数在单调递增，无减区间；
当时，令，得到，即，
所以，，单调递增，
，，单调递减，
综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）由已知在恒成立，
令，，可得，
则，

所以在递增，
所以，
①当时，，在递增，
所以成立，符合题意.
②当时，，
当时，，
∴，使，
即时，
在递减，，不符合题意.
综上得
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.
20、（1），；平均数为40.2；（2）
【解析】（1）根据矩形面积和为1，求的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在中抽取3人，在中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.
详解】（1）依题意，，故
又因为，所以，
所求平均数为（小时）
所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2
（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，分别记为，，，在中抽取2人，分别记为，，
则从5人中随机抽取2人基本事件有，，，，，，，，，
这2人来自不同组的基本事件有：，，，，，，共6个，
所以所求的概率
解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，在中抽取2人，
则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为
这2人来自不同组的基本事件数为
所以所求的概率
21、（1）
（2）
【解析】（1）将问题转化为不等式对应的方程无解，进而根据根的判别式小于0，计算即可；
（2）根据且、或命题的真假判断命题p、q的真假，列出对应的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
由条件知，恒成立，
只需的.
解得.
【小问2详解】
若为真命题，则，解得.
若 “”是假命题， “”是真命题，所以和一真一假
若真假，则，解得.
若假真，则，解得.
综上，实数的取值范围是.
22、（1）80m；
（2）.
【解析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质进行求解即可.
【小问1详解】
由题意，可知，，∵∴
直线BC方程：①，
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知，∴，从而得
故新桥BC得长度为80m
【小问2详解】
设，则，圆心，
∵直线BC与圆M相切，∴半径，
又因为，
∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小