2025年天津开发区第一中学高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年天津开发区第一中学高二数学第一学期期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.互斥且独立
2．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（ ）
A.4 B.
C.2 D.不确定
3．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）
A. B.
C.8 D.
4．已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
5．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是( )
①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.

A.0 B.1
C.2 D.3
6．函数的部分图像为（）
A. B.
C. D.
7．已知命题p：，总有，则为（ ）
A.，使得 B.，使得
C.，总有 D.，总有
8．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A. B.
C. D.
9．已知双曲线，则“”是“双曲线的焦距大于4”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．抛物线上点的横坐标为 4，则到抛物线焦点的距离等于（）
A.12 B.10
C.8 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若过点和的直线与直线平行，则_______
14．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______
15．已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______
16．若，，三点共线，则m的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程
18．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
20．（12分）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由
21．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：
（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知点，直线，圆.
（1）若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；
（2）若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】解：因为，，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
2、A
【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可
【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，
所以，，
，

故选：A

3、B
【解析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，
因为抛物线的准线方程为，所以，解得.
故选：B.
4、A
【解析】根据等差数列的通项公式，分别表示出，，整理即可得答案.
【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，
，

故选:A
5、C
【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.
【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；
②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；
③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，
∵，
∴曲线C上离原点最远的点的距离为
显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，
又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.
故③错误.
故选：C.
6、D
【解析】先判断奇偶性排除C，再利用排除B，求导判断单调性可排除A.
【详解】因为，所以为偶函数，排除C；
因为，排除B；
当时，，，
当时，，所以函数在区间上单调递减，排除A.
故选：D
7、B
【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题p：，总有是全称量词命题，
所以其否定为存在量词命题，即，使得，
故选：B
8、B
【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为
故选：B
9、A
【解析】先找出“双曲线的焦距大于4”的充要条件，再进行判断即可
【详解】若的焦距，则；若，则
故选：A
10、C
【解析】设直线l倾斜角为 ，根据题意得到，即可求解.
【详解】设直线l的倾斜角为，
因为直线的斜率是，可得，
又因为，所以，即直线的倾斜角为.
故选：C.
11、C
【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立
故选：C
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值
12、C
【解析】根据焦半径公式即可求出
【详解】因为，所以，所以
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据两直线的位置关系求解.
【详解】因为过点和的直线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：3
14、
【解析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围
【详解】函数的定义域为，
，
令，解得或，
若函数有2个极值点，
则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，
而，
令，令或，
故在和上单调递减，在上单调递增，
又，如图所示，

由图可得.
故答案为：
15、
【解析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；
【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；
故答案：
16、
【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出
【详解】由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线平行，
又，
由已知可得，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；
(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.
【小问1详解】
椭圆经过点，
则，解得，

【小问2详解】
设l的方程为：
与圆相切

设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，

18、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；
（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴

.
19、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x >25时，不等式有解，等价于x >25时, 有解,利用基本不等式,可以求得a.
【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
20、（1）；
（2）存在，.
【解析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；
(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.
【小问1详解】
，
由题可知，解得点，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
设，设，
代入，整理得，
由得，即，
由韦达定理化简得，即，
设存在圆与直线相切，
则，解得，
所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；
小问1详解】
证明：连接DE
因为，且D为AC的中点，所以
因为，且D为AC的中点，所以
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面
因为，所以平面BDE，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设．则，，．从而，
设平面BCE的法向量为，
则令，得
平面ABC的一个法向量为
设二面角为，由图可知为锐角，
则
22、（1）3（2）实数的值为和
【解析】（1）由直线垂直，斜率乘积为可得值；
（2）求出加以到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值
【小问1详解】
圆，，，，
，　，
【小问2详解】
圆半径为，设圆心到直线的距离为，
则
又由点到直线距离公式得：　
化简得：，解得：或
所以实数的值为和.