江西省吉安市峡江县峡江中学2025年高二数学第一学期期末调研试题含解析.doc

江西省吉安市峡江县峡江中学2025年高二数学第一学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2．在直三棱柱中，侧面是边长为的正方形，，，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
3．【山东省潍坊市二模】已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（）
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
5．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
7．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）
A. B.
C. D.
8．命题；命题．则
A.“或”为假 B.“且”为真
C.真假 D.假真
9．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
10．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（）
A. B.
C. D.
11．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）
A.3 B.2
C. D.
12．设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中所有项的系数和为_________
14．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________
16．设双曲线 (0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求k的值.
18．（12分）立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：
体能
文化
一般
良好
优秀
一般
0

良好
3

优秀
2

例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人
（1）若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；
（2）在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；
（3）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）
19．（12分）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
20．（12分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.

（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
22．（10分）已知函数，其中为实数.
（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.
【详解】∵，，
∴
故选：B
2、C
【解析】分析得出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.
【详解】由题意可知，，因为，，则，，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角为.
故选：C.
3、D
【解析】分析：根据题设条件，列出方程，求出，，的值，即可求得双曲线得标准方程
详解：∵双曲线的离心率为，其左焦点为
∴，
∴
∵
∴
∴双曲线的标准方程为
故选D.
点睛：本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，根据题设条件求出，，的值是解决本题的关键.
4、A
【解析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求
【详解】由题意得，圆的方程为，
∴圆心坐标为
∵直线被圆截得的弦长最大，
∴直线过圆心，
又直线过点（-2，1），
所以所求直线的方程为，
即
故选：A
5、A
【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.
【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.
故选：A
6、D
【解析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.
【详解】如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.

由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：
，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.
于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.
故选：D.
7、D
【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.
【详解】三角形有两个解，，即.
故选：D.
8、D
【解析】命题：可能为0，不为0，假命题，命题：，为真命题，所以“或”为真命题，“且”为假命题．选D.
9、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
10、B
【解析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程
【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为
故选：B
11、D
【解析】利用抛物线的定义求解.
【详解】因为点在抛物线上，，解得，
利用抛物线的定义知
故选：D
12、B
【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.
【详解】因为，且，所以.
所以，，
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##0.015625
【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.
【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.
故答案为：
14、
【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.
【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，
所以第22组的第1个数为.
故答案为：
15、
【解析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设，则.
由椭圆的定义可知：，所以.
所以
因轴，所以为直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以离心率.
故答案为：
16、e＝2.
【解析】先求出直线的方程，利用原点到直线的距离为，，求出的值，进而根据求出离心率
【详解】由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.
解关于的一元二次方程得＝或.
∵e＝，∴e＝或e＝2.
又0<a<b，故e＝＝＝>.
∴应舍去e＝.故所求离心率e＝2.
【点睛】本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于的等式，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）1或.
【解析】(1)根据抛物线的定义，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB
【详解】（1）抛物线C：的准线为，
由得：，得.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，由，
，
∴，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴
解得：，
所以k的值为1或.
【点睛】考核抛物线的定义及过焦点弦的求法
18、（1），；
（2）；
（3）.
【解析】（1）由题设可得求参数a，结合表格数据及已知总学生人数求参数b.
（2）应用列举法求古典概型的概率.
（3）应用表格数据及方差公式可得且，即可确定成绩方差最小对应的值.
【小问1详解】
设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生
由题意知，体能或文化优秀的学生共有人，则，解得
所以；
【小问2详解】
体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为；文化成绩良好的人记为；文化成绩优秀的人记为
从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间，
设事件：至少有一个人文化的成绩为优秀，，

所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是；
【小问3详解】
由题设知：体能测试成绩，{一般，良好，优秀}人数分别为{5，，}，对应平均分为{100,120,140}，
所以体能测试平均成绩，
所以，而
所以当时最小.
19、（1），曲线是一个双曲线，除去左右顶点
（2）
【解析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
【小问1详解】
解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线一个双曲线，除去左右顶点.
【小问2详解】
解：联立消去整理得，
设，，则，

.
20、（1）
（2）不能，理由见解析.
【解析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；
（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.
【小问1详解】
解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是
则
等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

【小问2详解】
解：点不能为线段的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：
过点的直线斜率为，，
因为过点的直线与曲线C相交于两点，
所以，两式作差并化简得：①
当为的中点时，则，②
将②代入①可得：
此时过点的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点不能为线段的中点
【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.
21、（1）
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；
（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.
【小问1详解】
∵平面平面
∴
又两两互相垂直 ,
所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

D ( 3 , 6 , 0 ) , A ( 0 , 6 , 0 )

设平面的一个法向量
所以即
令，可得

记点到平面的距离为，
则
【小问2详解】
由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
设二面角的平面角为
由图可知，

22、（1）
（2），
【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.
【小问1详解】
，
.
由题意得：，解得：.
，
【小问2详解】
，则，解得，
，
，
当，解得：，即函数在单调递减，
当，解得：或，
即函数分别在，递增.
又，，，，
，.