山西省大学附属中学2026届数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

山西省大学附属中学2026届数学高二第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）
A. B.
C. D.
2．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A.2 B.6
C.4 D.12
3．平行六面体中，若，则（ ）
A. B.1
C. D.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）
A. B.
C. D.
5．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
6．已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（）
A. B.
C. D.
7．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是
A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学
C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：50
8．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
9．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最大值
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
12．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为.焦点到顶点的距离与口径的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角满足，则该抛物面天线的焦径比为（）

A. B.
C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分
14．已知P为抛物线上的一个动点，设P到抛物线准线的距离为d，点，那么的最小值为______
15．对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则___________.
16．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，圆C：，l：.
（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
18．（12分）已知数列通项公式为：，其中．记为数列的前项和
（1）求，；
（2）数列的通项公式为，求的前项和
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，，，，，

（1）证明：是直角三角形；
（2）求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值
20．（12分）已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
（1）判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
（2）设数列具有性质，求证：；
（3）若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.
21．（12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得，，，
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式
中，，，其中，为样本平均值
22．（10分）已知空间中三点，，，设，
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设所求点的坐标为，由，逐一验证选项即可
【详解】设所求点的坐标为，则，
因为平面的一个法向量为，
所以，，
对于选项A，，
对于选项B，，
对于选项C，，
对于选项D，
故选：A
2、C
【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：C
3、D
【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.

4、B
【解析】利用条件概率公式进行求解.
【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，
故选：B
5、B
【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】，
因为不等式恒成立，
所以，即，
解得，所以.
故选:B.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
6、A
【解析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论
【详解】设的公比为，　因为，，成等差数列，
所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）
所以
故选：A
7、B
【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.
【详解】据题意：
总体是1100名同学的总成绩，故A正确
个体是每名同学的总成绩，故B错
样本是50名同学的总成绩，故C正确
样本容量是：50，故D正确
故选：B
【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.
8、D
【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.
详解】，圆心，半径
，圆心，半径
设点P，
则
，
即到与两点距离之和的最小值，
当、、三点共线时，的和最小，
即的和最小值为.
故选：D
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
9、D
【解析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的对称性知：，而，
又，即四边形为矩形，
所以，则且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
综上，，整理得，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.
10、C
【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.
【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为
长方体的底面相邻两边分别为，
，当且仅当时，等号成立，
.
故选:C.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.
11、D
【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决
【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，
则，，，，成等差数列，设公差为
，

整理上面两个算式，得：
，
解得，

故选：
12、B
【解析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得点坐标，代入抛物线方程化简即可求解
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为（）

在中，
则
所以
则
所以，所以
将代入抛物线方程中得

所以或
即或（舍）
当时，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、证明过程见解析
【解析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立
则有，解得．所以
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
14、5
【解析】由抛物线的定义可得，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得结果
【详解】抛物线的焦点，准线为，
如图，过作垂直准线于点，则，
所以，
由图可知当三点共线时，取得最小值，即最小值为,
,
所以的最小值为5，
故答案为：5

15、54
【解析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解.
【详解】由已知可得：，
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，；；
所以.
故答案为：54.
16、
【解析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件B：猫的寿命超过12岁.
依题意有，，
则一只寿命超过10岁猫的寿命超过12岁的概率.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；
（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.
【小问1详解】
由题意可知圆的圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即
由点到直线距离公式列方程得：解得
综上，过的直线方程为或.
【小问2详解】
由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，

由勾股定理知：，
所以的最小值为.
18、（1）；；
（2）.
【解析】（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；
（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.
【小问1详解】
当时，；当时，；当时，；
数列是以为周期的周期数列；
，；
【小问2详解】
由（1）得：，，
，
，
两式作差得：.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接BD，在四边形ABCD中求得，在中，取得，得到，由线面垂直的性质证得平面，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面PBD，进而得到，即可证得是直角三角形
（2）以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行直线为y轴，所在直线为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，连接BD，
因为四边形中，可得，，，
所以，，则
在中，由余弦定理可得，所以，所以
因为平面底面，平面底面，
底面ABCD，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以，
因为，，所以平面PBD
因为平面PBD，所以，即是直角三角形
【小问2详解】
解：由（1）知平面PAB，取AB的中点O，连接PO，
因为，所以，
因为平面，平面底面，平面底面，
所以底面,
以为原点，以所在直线为x轴，过点且与平行的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
可得，，，

设平面的一个法向量为，则，
令，可得，，所以，
因为是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为

20、（1）数列，，，不具有性质；
（2）证明见解析；（3）可能取值只有.
【解析】（1）由数列具有性质的定义，只需判断存在与都不是数列中的项即可.
（2）由性质知：、，结合非负递增性有，再由时，必有，进而可得，，，，，应用累加法即可证结论.
（3）讨论、、，结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质，进而确定的可能取值.
【小问1详解】
数列，，，不具有性质.
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质.
【小问2详解】
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以.
设，因为，所以.
又，则，，，，.
将上面的式子相加得：.
所以.
【小问3详解】
（i）当时，由（2）知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
（ii）当时，存在数列，，，，符合题意，故可取.
（iii）当时，由（2）知，.①
当时，，所以，.
又，，
∴，，，，即.
由，，得：，，
∴.②
由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.
综上，满足题设的的可能取值只有.
【点睛】关键点点睛：第二问，由可知，并应用累加法求证结论；第三问，讨论k的取值，结合的性质，由性质、等差数列的性质判断不同k的取值情况下数列的存在性即可.
21、（1）＝0.3x－0.4
（2）正相关（3）1.7千元
【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.
（2）由判断；
（3）将x＝7代入回归方程求解.
【小问1详解】
由题意知
n＝10，，
则，
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
【小问2详解】
因为，
所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.
【小问3详解】
将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
22、（1）；（2）或.
【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；
（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.
【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)
（1）cosθ＝，
所以和的夹角余弦值为.
（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，
则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.