江苏省睢宁高级中学2026届数学高二第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

江苏省睢宁高级中学2026届数学高二第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，为其前项和，若．则（ ）
A. B.
C. D.
2．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是　　
A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且
D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且
3．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
4．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）

A. B.
C. D.
5．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
A.4 B.3
C.2 D.1
6．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）
A. B.
C. D.
7．数列中，，，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
8．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为
A.3 B.4
C.7 D.10
9．的展开式中的系数为，则（）
A. B.
C. D.
10．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
11． “冰雹猜想”数列满足：，，若，则（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
12．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，向量 ，若，则实数的值为________.
14．已知函数，则______
15．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______
16．下列是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则_______ .
月份
1
2
3
4
用水量
4.5
4
3
2.5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，直线
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）过点作圆C的切线，求切线的方程
18．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：其中，，，，，，，，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求声音强度D关于声音能量I回归方程
（3）假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由
参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
19．（12分）已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求
20．（12分）已知数列的前项和满足
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和
21．（12分）已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D

（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值
22．（10分）已知直线和的交点为P，求：
（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；
（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；
（3）从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程
②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.
【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.
故选：C.
2、D
【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.
3、B
【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
4、C
【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.
【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为
所以球的体积为, 表面积为.
圆柱的体积为：,所以其体积之比为：
圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为：
所以其表面积之比为：
故选：C
5、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
6、B
【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得的值，由结合的取值范围可求得的值.
【详解】由已知可得，且，因此，.
故选：B.
7、C
【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.
【详解】∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得.
故选：C.
8、D
【解析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解
【详解】解：抛物线：，焦点为，
过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，
则
故选D
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、B
【解析】根据二项式展开式的通项，先求得x的指数为1时r的值，再求得a的值.
【详解】由题意得：
二项式展开式的通项为：，
令，则，
故选：B
10、A
【解析】根据递推关系式得到，进而利用累加法可求得结果
【详解】数列中，，当时，，
，
，
，且，

，
故选：A
11、A
【解析】根据题意分别假设为奇数、偶数的情况，求出对应的即可.
【详解】由题意知，
因为，
若为奇数时，，
与为奇数矛盾，不符合题意；
若为偶数时，，
可得，符合题意.
不符合
故选：A
12、C
【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数
的单调性，进而得出，变形即可得出结果.
【详解】令，
则，
又，
所以，
令，
令，
所以函数在上单调递减，
在单调递增，
所以，
即，
则.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据，由求解.
【详解】因为向量，向量 ，且，
所以，
解得，
故答案为：2
14、
【解析】根据导数的定义求解即可
【详解】由，得，
所以

，
故答案为：
15、
【解析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】因为
=，
所以，
则曲线在点处的切线斜率为，即，
又
所以所求切线的倾斜角为
故答案为：
16、25
【解析】根据表格数据求出，代入，即可求出.
【详解】解：由题意知：，
，
将代入线性回归方程，
即，
解得：.
故答案为：5.25.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）相交.（2）或.
【解析】（1）先判断出直线恒过定点(2，1) ，由(2，1)在圆内，即可判断；
（2）分斜率存在与不存在两种情况，利用几何法求解.
【小问1详解】
直线方程，即，则直线恒过定点(2，1).因为，则点(2，1)位于圆的内部，故直线与圆相交.
【小问2详解】
直线斜率不存在时，直线满足题意；
②直线斜率存在的时候，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得: ，则直线方程为：.
综上可得，直线方程或.
18、（1）更适合
（2）
（3）点P处会受到噪声污染，理由见解析
【解析】（1）直接判断即可；
（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；
（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.
【小问1详解】
更适合
【小问2详解】
令，则
，
，
D关于W的回归方程是，
则D关于I的回归方程是
【小问3详解】
设点P处的声音能量为，则
因为
所以

当且仅当，即时等号成立
所以，
所以点P处会受到噪声污染
19、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
【小问2详解】
，
，
，
.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求解即可
【小问1详解】
当时，，

，
当时，，
，
，
数列是以为首项、以为公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）得，，即，
，
设等差数列的公差为，则，，
，，
，

21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；
（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【小问1详解】
（1），，∴，，，
∴；
【小问2详解】
设，，则，CF：
联立
∴，∴

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
22、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；
（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；
（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线和的交点为P，
联立方程组，解得，即，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点到直线的距离为，
设所求圆的半径为，
由圆的的垂径定理得，弦长，解得，
所以所求圆的方程为.
【小问3详解】
解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，
设直线l的的斜率为，
可得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
由，解得或，
所以所求直线的方程为或.
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，
因为圆与x轴相切，可得，
又由圆心到直线的距离为，
利用圆的垂径定理可得，即，
解得，即圆心坐标为或，
所以所求圆的方程为或.